第4节随机事件、频率与概率
考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.
【知识梳理】
1.样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示.
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示.
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件.
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.
2.事件的关系
定义
表示法
图示
包含关系
若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
互斥事件
如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
若A∩B＝?，则A与B互斥
对立事件
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up6(－))
若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，则A与B对立
3.事件的运算
定义
表示法
图示
并事件
事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
4.概率与频率
(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A).
[常用结论与微点提醒]
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.()
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.()
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.()
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.()
答案(1)×(2)√(3)√(4)×
解析随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误.(4)中，甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.
2.(必修二P235T1改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是()
A.至多一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都没有中靶
答案D
解析连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶，故选D.
3.(必修二P235T2改编)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则()
A.A∪B表示向上的点数是1或3或5
B.A＝B
C.A∪B表示向上的点数是1或3
D.A∩B表示向上的点数是1或5
答案A
解析设A＝{1，3}，B＝{1，5}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，
∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.
4.(必修二P257T1改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次，其中有496次正面向上，504次反面向上，则掷一次硬币正面向上的概率为________.
答案0.5
解析掷一次硬币正面向上的概率为0.5.
考点一随机事件与样本空间
例1(1)在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是________.(填“必然事件”或“不可能事件”)
答案必然事件
解析从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，
∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()
A.5 B.6 C.7 D.8
答案D
解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验