第10课时函数模型的应用
[考试要求]1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
1．指数、对数、幂函数模型性质的比较
函数
性质
y＝ax(a1)
y＝logax(a1)
y＝xn(n0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
2．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)
与幂函数相
关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
[常用结论]
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．“对勾”函数f(x)＝x＋axa0在(0，＋∞)上的性质：在(0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，当x＝a时f(
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． ()
(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度． ()
(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． ()
[答案](1)×(2)√(3)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是()
A．y＝2x B．y＝lgx
C．y＝x2 D．y＝2x
D[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．]
2．(人教A版必修第一册P148例3改编)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；
③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．
④[由题图可知，上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．]
3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T4改编)某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日单价x(单位：元)之间的函数解析式为y＝－x225＋12x－210，那么，日单价为________元时，该商品的
150690[因为y＝－x225＋12x－210＝－125(x－150)2＋690，所以当x＝150，即当日单
4．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(单位：元)与行驶千米数x(单位：km)之间的函数解析式是________．
[答案]y＝0.5x
考点一用函数图象刻画实际问题
[典例1](1)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f?的大致图象是()
AB
CD
(2)(2024·云南师大附中期末)如图是根据某调查绘制的某地区7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是()
A．y＝mx＋n(m0)
B．y＝mx＋n(m0)
C．y＝max＋n(m0，a1)
D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1)
(1)B(2)B[(1)由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f?是增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确．故选B.
(2)A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义．故选B.]
判断函数图象与实际问题变化过程