几何体中得得截面问题
1、定义及相关要素
用一个平面去截几何体,此平面与几何体得交集,叫做这个几何体得截面、此平面与几何体表面得交集(交线)叫做截线、此平面与几何体得棱得交集(交点)叫做截点、
2、作多面体得截面方法(交线法):该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上得两个截点即可连结成截线,从而求得截面、
题型一、截面得形状
1、P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1得棱BB1、CC1和DD1上,试画出过P、Q、R三点得截面、
1解答:(1)连接QP、QR并延长,分别交CB、CD得延长线于Ｅ、F、
(2)连接ＥF交AB于T,交AD于Ｓ、
(３）连接RS、ＴP。则多边形PQRST即为所求截面。
2、已知P、Q、R分别就就是四棱柱ABCD―A1B１C1D1得棱CD、ＤD1和AＡ1上得点,且ＱR与ＡD不平行,求作过这三点得截面、
2解答:（1)连接QP并延长交DA延长线于点I。
(２)在平面ABCD内连接PＩ交ＡＢ于点M。
(３）连接QＰ、RM。则四边形PＱRM即为所求。
注：①若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体得一个面得截线。
②若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定得点。
③若两个已知点分别在相邻得面上,应找出这两个平面得交线与截面得交点。
ACBD３、一个正方体内接于一个球,过这个球得球心作一平面,则截面图形
A
C
B
D
3答案:D
解析:考虑过球心得平面在转动过中,平面在球得内接正方体上截得得截面不可能就就是大圆得内接正方形，故选D。
题型二、截面面积、长度等计算
4、过正方体得对角线得截面面积为Ｓ,Smａx和Smin分别为S得最大值和最小值，则得值为()
A、 B、 C、 D、
4答案：C
解析:设M、N分别为AA1、CC1得中点、易证截面ＢMD１N就就是边长为得菱形（正方体棱长设为１）,其面积S(min)=、而截面BB1D１Ｄ就就是矩形,其面积S（ｍaｘ）=、
５、如图,已知球Ｏ就就是棱长为1得正方体ＡBCＤ﹣Ａ1B１Ｃ１Ｄ1得内切球,则平面ACD1截球O得截面面积为、
5答案:
解析:平面ＡCＤ1就就是边长为得正三角形,且球与以点Ｄ为公共点得三个面得切点恰为三角形ＡCD1三边得中点，故所求截面得面积就就是该正三角形得内切圆得面积,则由图得,△ACD1内切圆得半径就就是×tan30°=，则所求得截面圆得面积就就是π××=、
Ｏ２ＯＣＯ2６、已知球得半径为,
Ｏ２
Ｏ
Ｃ
Ｏ2
A、? B、 ?C、 D、
６答案:C
解析:与得公共弦为AB,球心为O,ＡB中点为C,
则四边形为矩形,
所以
7、已知正四棱锥P—ABＣD得棱长都等于,侧棱PB、PＤ得中点分别为M、N,则截面AMN与底面ABＣD所成二面角大小得正切值为、
7答案:
解析：过Ａ在平面ABCD内作直线,连接AC,BＤ交于Ｏ,连接PO,ＭＮ、记ＰO、MＮ交于Ｏ‘、因为PB、PＤ得中点分别为Ｍ、N,所以MN／/BＤ,因为,所以,,所以平面ＡMN,平面AMN∩平面AＢCD、易知即为面AMN与底面ABCD所成二面角得平面角、
8、如图,正方体得棱长为1,Ｐ为BC得中点,Q为线段上得动点,过点A，P，Ｑ得平面截该正方体所得得截面记为S。则下列命题正确得就就是_＿__＿
①当时,S为四边形
②当时,Ｓ为等腰梯形
③当时,S与得交点Ｒ满足
④当时,S为六边形
⑤当时,S得面积为
8答案:①②③⑤
解析:、
对①,,则所以截面S为四边形,且S为梯形、所以为真、
对②,,截面S为四边形截面S为等腰梯形、所以为真、
对③，所以为真、
对④,、截面S与线段相交，所以四边形S为五边形、所以为假、
对⑤,、对角线长度分别为所以为真、
９、如图，为正方体。任作平面与对角线
垂直,使得与正方体得每个面都有公共点,记这样得到
得截面多边形得面积为S,周长为、则()
A、S为定值，不为定值B、S不为定值，为定值
C、S与均为定值D、S与均不为定值
9答案:Ｂ
解析:将正方体切去两个正三棱锥与后,得到一个以平行平面与为上、下底面得几何体V，V得每个侧面都就就是等腰直角三角形，截面多边形W得每一条边分别与V得底面上得一条边平行,将V得侧面沿棱剪开,展平在一张平面上，得到一个平行四边形，而多边形W得周界展开后便成为一条与平行得线段(如图中),显然,故为定值。
当位于中点时,多边形W为正六边形,而当移至处时，W为正三角形,易知周长为定值得正六边形与正三角形面积分别为与,故Ｓ不为定值。
题型三、截面图形得计数
10、设四棱锥得底面不就就是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形