课时规范练69概率与统计中的综合问题
1.(15分)(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
2.(15分)(2024·江西鹰潭二模)等高堆积条形图是一种数据可视化方式,能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较,这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分,形成一条整体条形图,每个条形图的高度表示对应变量的值,不同颜色表示不同变量,能够更好地理解每个变量在总体中的占比.石墨烯发热膜能用在衣服上,使之更加轻薄、保暖.石墨烯发热膜的制作如下:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择,研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验,得到如下等高堆积条形图.
单位:次
试验结果
A材料
B材料
合计
试验成功
试验失败
合计
(1)根据等高堆积条形图,填写2×2列联表,并根据小概率值α=0.001的独立性检验,判断试验的结果是否与材料有关;
(2)研究人员得到石墨烯后,再制作石墨烯发热膜有三个环节:①透明基底及UV胶层;②石墨烯层;③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为23,第三环节生产合格的概率为34,且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元,若生产不合格还需进行修复,第三环节的修复费用为4000元,其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价(单位:万元),才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标?(精确到0
附:χ2=n(ad-
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
3.(15分)(2024·广东梅州一模)某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况,从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查,收集了他们参加公益劳动时间(单位:时)分配情况等数据,并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况,从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和期望;
(2)以调查结果的频率估计概率,从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生,用“P20(k)”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在(10,12](单位:时)内的概率,其中k=0,1,2,…,20.当P20(k)最大时,写出k的值.
4.(15分)(2024·浙江杭州模拟)某单位有10000名职工,想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病.抽样化验显示,当前携带该细菌的人约占0.9%,若逐个化验需化验10000次.统计专家提出了一种化验方法:随机按n人一组进行分组,将各组n个人的血液混合在一起化验,若混合血样呈阴性,则这n个人的血样全部阴性;若混合血样呈阳性,则说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对每个人再分别化验一次.
(1)若每人单独化验一次花费10元,n个人混合化验一次花费n+9元.问n为何值时,化验费用的数学期望最小?(注:当p0.01时,(1-p)n≈1-np)
(2)该疾病主要是通过人与人之间进行传播,感染人群年龄大多数是40岁以上.细菌进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长,感染给他人的可能性越高.现对已发现的90个病例的潜伏期(单位:天)进行调查,统计发现潜伏期的平均数为7.2,方差为2.252.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”,按照年龄统计样本,得到下面的列联表:
年龄/人数
长期潜伏
非长期潜伏
40岁以上
15
50
40岁及40岁以下
10
15
①依据小概率值α=0.05的独立性检验,判断“长期潜伏”与