第7课时指数与指数函数
[考试要求]1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
考点一指数与指数幂的运算
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*．
(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a
(3)(na)n＝a
当n为奇数时，nan＝
当n为偶数时，nan＝|a|
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*
正数的负分数指数幂的意义是a-mn＝1amn＝1nam(a0，m
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr．
(其中a0，b0，r，s∈Q)．
[典例1](1)化简π-42+3π-3
A．1 B．－1
C．7－2π D．2π－7
(2)(人教A版必修第一册P107例4改编)①计算：2791
②化简5a
(1)A[π-42+3π-33＝|π－4|＋π－3＝4－π＋π－3＝1
(2)[解]①27912-23-π0-21027-13＋0.25-
②5a-23b12-1
反思领悟(1)当n为偶数时，nan＝|a|，注意与
(2)必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序不可随意改变．
巩固迁移1(1)(多选)下列各式正确的是()
A．12-34
B．3
C．3-8＝－
D．若a12＋a-12＝3，则
(2)(2024·渭南一模)0.027-13－-16-2＋2560.75－3-1＋2×
A．105 B．33
C．69136 D．－
(1)CD(2)B[(1)选项A，12-34＝1234
选项B，3x+
选项C，3-8＝－2
选项D，将a12＋a-12＝3两边平方，得a＋a-1＋2＝9，所以a＋a-1＝7，将a＋a-1＝7两边平方，得a2＋a-2＋2＝49，所以a2＋a
(2)由题意得0.027-13－-16-2＋2560.75－3
＝0.33×-13--62+2834－13＋
＝103－36＋64－13＋2＝
故选B．]
考点二指数函数的图象及应用
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
2．指数函数的图象与性质
项目
a1
0a1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x0时，y1；
当x0时，0y1
当x0时，y1；
当x0时，0y1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
提醒：(1)画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，-1，
(2)指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1进行研究．
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab．
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[典例2](1)(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则()
A．a1
B．0a1
C．b1
D．0b1
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
(1)BD(2)0，12[(1)观察题图得，函数f(x)＝ax
因此0a1．
法一：设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0y01，
当x＝0时，y0＝1－b，于是得01－b1，解得0b1，
所以0a1，0b1．
法二：函数f(x)的图象可看作是y＝ax(0a1)的图象向下平移得到的，则0b1，故选BD．
(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0a1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则02a1，得0a12．综上可知，a的取值范围为0
]
反思领悟本例(1)这一指数型函数y＝ax－b(a0，且a≠1，b≠0)的图象问题，可以从最基本的指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象入手，通过平移变换得到；本例(2)中底数a与1的大小关系不确定，应注意分a1与0a1两类来讨论．
巩固迁移2(1)函数y＝ax－a-1(a0，且a≠1)的图象可能是()
AB
CD
(