第11课时函数模型及其应用
[考试要求]1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
考点一用函数图象刻画变化过程
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．
[典例1](多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为()
A．在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标
B．在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等
C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量
BD[由题图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；
在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确；
甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；
在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确．]
反思领悟本例中，解题关键是根据题目中两企业图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．
巩固迁移1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是()
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
ABC[从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．]
考点二已知函数模型的实际问题
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax
(a1)
y＝logax
(a1)
y＝xα
(α0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的
变化
随x的增大
逐渐表现
为与y轴
平行
随x的增大
逐渐表现为
与x轴
平行
随α值的
变化而各
有不同
2．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)
与指数函数
相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0，且a≠1)
与对数函数
相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0，且a≠1)
与幂函数
相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，n≠0，a≠0)
提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
[典例2](1)(2024·北京通州潞河中学校考阶段练习)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C＝Wlog21+SN，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；SN为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当SN＝99，W＝2000