第2课时排列与组合
[考试要求]1．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．2．会用排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．
考点一排列问题
1．排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作An
2．排列数公式及性质
(1)排列数公式
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m
＝n！n-m！(m，n∈N*，且
(2)性质：①Ann＝n
②0！＝1．
[常用结论]
1Anm
2Anm
(3)(n＋1)！－n！＝n·n!
[典例1]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．
[解](1)从7人中选5人排列，有A75＝7×6×5×4×3＝2520(种
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A7
(3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A6
法二(特殊位置优先法)：左右两边位置可安排另6人中的两人，有A62种排法，其他有A55种排法，共有A6
(4)法一(特殊元素优先法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A51种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A51种，其余人全排列，有A5
法二(间接法)：7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A5
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有A77A33
反思领悟本例(1)(2)把符合条件的排列数直接列式计算；本例(3)中，甲有限制条件，可以采用“特殊元素优先法”，先把甲排在中间5个位置，再把余下6人全排列，也可以采用“特殊位置优先法”，即先排最左边和最右边两个位置，再排中间5个位置；本例(4)可以按甲分类，采用“特殊元素优先法”，也可以采用“间接法”，即7人全排列，再排除甲在最左边，乙在最右边的情形，但甲在最左边，乙在最右边排除(减)了两次，应再加一次(A55)
巩固迁移1(1)(2024·盐城期末)由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的个数为()
A．24 B．60
C．120 D．720
(2)(2024·内江月考)有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有()
A．72种 B．144种
C．288种 D．576种
(3)(2024·泉州质检)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有________种(填数字)．
(1)C(2)C(3)672[(1)由题意可知，由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数即为1，2，3，4，5全排列，
所以没有重复数字的五位数的个数为A55＝120．故选
(2)首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，
故不同排列方式共有A42A44
故选C．
(3)若甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排，则有2A4
若丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，则有2A2
所以共有2A42·A42
考点二组合问题
1．组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cn
2．组合数的公式及性质
(1)组合数公式
Cnm＝A
＝n！m！n-m！(m，n∈N
(2)组合数性质
①Cn0＝
②Cnm＝
③Cn+1m
[典例2]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[解](1)从余下的34种商品中，选取2种