第6课时条件概率与全概率公式
[考试要求]1．了解条件概率，能计算简单随机事件的概率．2．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率．3．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式．
考点一条件概率
1．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)＝PABPA为在事件A
提醒：P(B|A)与P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般情况下，二者不相等．
(2)性质：设P(A)0，则
①P(Ω|A)＝1；
②任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；
③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
④设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)．
2．两个公式
(1)条件概率的古典概型公式：P(B|A)＝nAB
(2)概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)(P(A)0)．
条件概率的计算
[典例1](2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________．
3512[法一
从五个活动中选三个的情况有：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况，
其中甲选到A有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
则甲选到A的概率为610＝3
乙选A活动有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
其中再选择B有3种可能情况：ABC，ABD，ABE，
故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为36＝1
法二(排列组合法)：
由题意知，甲选到A的概率P＝C42C
设乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，
则乙选到A的概率为P(M)＝C42C
乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)＝PMNPM＝C3
反思领悟本例中，求甲选A的概率，可采用列举法或组合公式利用概率公式即可；求乙选了A活动，他再选择B活动的条件概率，可采用列举法借助古典概型概率公式来求，也可以利用条件概率的定义计算．
巩固迁移1(2024·郑州月考)先后投掷两个完全相同的骰子，已知两个骰子的点数之和为10，则第一个骰子掷出的点数为5的概率为()
A．16 B．
C．13 D
C[记“两个骰子的点数之和为10”为事件A，“第一个骰子掷出的点数为5”为事件B，
事件A包含(4，6)，(5，5)，(6，4)，共有3个样本点，即n(A)＝3，
事件AB包含(5，5)，共有1个样本点，即n(AB)＝1，
所以所求概率为P(B|A)＝nABnA
故选C．]
互斥事件的条件概率
[典例2]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9这十个数中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1)任意按最后一位数字，不超过3次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4，不超过3次就按对的概率．
[解]设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1，2，3)，
则A＝A1∪A1A2∪A1A2A3表示
(1)因为事件A1，事件A1A2与事件A1A2A3两两互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2
(2)设事件B表示“最后一位的数字不大于4”，
则P(A|B)＝P(A1∪A1A2∪A1A2A3|B)＝P(A1|B)＋P(A1A2|B)＋P(A1A2
反思领悟本例所求事件的概率相对较复杂，把该事件分成几个互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单的事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)来求．
提醒：应用这个公式的前提是：B与C互斥．
巩固迁移2(2025·云南昆明模拟)已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P(A∪B|C)＝12，P(BC)＝112，P(C)＝14，则P(AC)的值等于
A．16 B．
C．14 D
A[由题意，P(B|C)＝PBCPC＝13，由A，B是互斥事件知，P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B
所以P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝12-1
故选A．]
乘法公式的应用
[典例3]经统计，某射击运动员进行两次射击时，每一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8．那么该射击运动员两次均击中9环的概率为()
A．0.24 B．0.36
C．0.48 D．0.75
C[设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以