第4课时列联表与独立性检验
[考试要求]1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2．通过实例，了解独立性检验及其应用．
考点一列联表与χ2的计算
1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．
2．分类变量X，Y的2×2列联表：
X
Y
合计
Y＝0
Y＝1
X＝0
a
b
a＋b
X＝1
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
则χ2＝nad
注：χ2即K2，α即P(K2≥k)，xα即k，不同版本教材所用符号有所不同．
[典例1](2024·苏州统考)为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的56，女性喜爱足球的人数占女性人数的13，若本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有(
附：χ2＝nad-bc2a+bc+da
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．11人 B．12人
C．13人 D．14人
B[设男性人数为k，依题意，得2×2列联表如下：
单位：人
性别
喜爱足球
合计
喜爱
不喜爱
男性
5k
k6
k
女性
2k
4k
2k
合计
3k
3k
3k
依据列联表中数据计算得到
χ2＝3k5k
因为本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是χ2≥7.879＝x0.005，即2k3≥
解得k≥11.8185，而k是6的正整数倍，因此kmin＝12．]
反思领悟2×2列联表是4行4列，关键是对涉及的变量分清类别，χ2的计算要准确无误．
巩固迁移1(2025·南阳模拟)某人工智能服务商提供了A，B两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取m名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的710，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的43倍，购买A套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则m的最小值为
附：χ2＝nad-bc2a+bc+da
α
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
170[由题意可得用户类型与购买的套餐类型2×2列联表如下：
单位：名
用户类型
套餐
合计
A
B
个人用户
210
310
12
公司用户
110
410
12
合计
310
710
m
零假设为
H0：购买的套餐类型与用户类型无关．
χ2＝m×210
因为依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为购买的套餐类型与用户类型有关，
所以χ2＝m21≥7.879，解得m≥165.459，又因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170．
考点二列联表与独立性检验
1．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
2．χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
3．两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法
(1)利用等高堆积条形图直观判断：
如图，在等高堆积条形图中，下方同一颜色区域的两个高度相差比较明显时，可以判断两个分类变量之间有关联性．
(2)频率分析法：在2×2列联表中，aa+b与cc+d或
[典例2](2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
s
服用
150
70
220
合计
250
t
400
(1)求s，t；
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；
(3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？
附：χ2＝nad
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
[解](1)由列联表知，s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150．
(2)由列联表知，未服用药物A的动物有s＝180(只)，
未服用药物A且患疾病B的动物有80只，
所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为80180＝4
所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为p＝49
(3)零假设为H0：药物A对预防疾病B无效．
根据列联表中的数据可求得
χ2＝400×1