第4课时函数的奇偶性、周期性
[考试要求]1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用．
考点一函数奇偶性的判断
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于__对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果?x∈D，都有－x∈D，且_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于__对称
提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域．
[常用结论]奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
[典例1](人教A版必修第一册P84例6改编)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－1x
(2)f(x)＝x2
(3)f(x)＝x
(4)f(x)＝loga(mx＋m2x2+1)(
[听课记录]
反思领悟判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，否则既不是奇函数也不是偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
巩固迁移1(1)(多选)下列命题正确的是()
A．奇函数的图象一定过坐标原点
B．函数y＝xsinx是偶函数
C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数
D．函数y＝x2
(2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是()
A．f(x)＋g(x)为R上的奇函数
B．f(x)－g(x)为R上的偶函数
C．fxgx
D．|f(x)g(x)|为R上的偶函数
考点二函数奇偶性的应用
[典例2](1)(2024·邯郸期末)已知f(x)为奇函数，当x＞3时，f(x)＝x2－7x-3，则f(－4)＝(
A．－9 B．9
C．－17 D．17
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln2x-12x+1为偶函数，则
A．－1 B．0
C．12 D．
(3)(2024·海淀区二模)设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)的解析式为____________．
[听课记录]
反思领悟本例(1)先求出f(4)，再借助奇函数f(－x)＝－f(x)来解决；本例(2)先求出定义域(定义域优先)，再利用奇函数×奇函数＝偶函数，将f(x)分成两个函数相乘，分别讨论其奇偶性，或用特殊值求a；本例(3)求解析式，先将待求区间(－∞，0)的自变量转化到已知解析式x0时，f(x)＝x2＋1上，再利用f(－x)＝－f(x)求解．
巩固迁移2(1)已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－2024x－m，若f(－2024)＋f(0)＝2，则实数m＝________
(2)已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2·3x，则函数f(x)＝________．
考点三函数的周期性及应用
1．周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__的正数，那么这个____就