第5课时一元二次方程、不等式
[考试要求]1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
考点一不含参数的不等式的解法
1．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ0
Δ＝0
Δ0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根
有两相异实根x1，x2(x1x2)
有两相等实根x1＝x2＝－b
没有实数根
ax2＋bx＋c0(a0)的解集
____________
x
R
ax2＋bx＋c0(a0)的解集
___________
_
_
2．(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解集
不等式
解集
ab
a＝b
ab
(x－a)·(x－b)0
{x|xa，或xb}
_______
_______
_____
(x－a)·(x－b)0
{x|axb}
_
_________
3．分式不等式与整式不等式
(1)fxgx0(0)?f(x)·g(x)0(0)且g(x)
(2)fxgx≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)
4．简单的绝对值不等式
|x|a(a0)的解集为______________，
|x|a(a0)的解集为______．
提醒：解不等式ax2＋bx＋c0(0)时不要忘记当a＝0时的情形．
[典例1](多选)下列选项中，正确的是()
A．不等式x2＋x－20的解集为{x|x－2，或x1}
B．不等式2x+1x-2≤1的解集为{x|－
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|1”是“x+4x-5
[听课记录]
反思领悟(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集．
(2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组，如本例中，2x+1x-2≤1?2x+1x-2－1≤0?x+3x-2≤0?x+3x-2≤
巩固迁移1(2024·福州鼓楼区一模)已知集合A＝xx-2x+2≤0，B＝{x|x2－3x＜0}，则A
A．{x|x≤2，或x≥3} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3}
考点二含参数的一元二次不等式的解法
[典例2]解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
[听课记录]
反思领悟解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)讨论二次项系数：本例中二次项系数为a，当a＝0时，转化为一次不等式x＋1≤0；当a0时，要转化为二次项系数大于0的形式x-2a(x＋1)≤0(注意不等号的变化)；当
(2)判断方程根的个数：不能分解因式时，需通过讨论判别式Δ与0的关系，确定根的个数，能分解因式无需判断，如本例．
(3)确定根的大小写解集：本例中，a0时，2a－1，不等式的解集在两根之外，a0时，2a与－1的大小不定，需比较2a
巩固迁移2若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－10的解集为()
A．x
B．x
C．x
D．x
考点三三个二次的关系
[典例3](多选)(人教B版必修第一册P81习题2－2BT7改编)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是()
A．a0
B．不等式bx＋c0的解集是{x|x－6}
C．a＋b＋c0
D．不等式cx2－bx＋a0的解集为-∞
[听课记录]