第5课时基本不等式的综合应用
[考试要求]1．会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．2．理解基本不等式在实际问题中的应用．3．掌握基本不等式在其他知识中的应用．
考点一利用基本不等式求参数的值或范围
[典例1](1)(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是()
A．0，4
C．?∞，13
(2)若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式4x+1+1ym2＋3
(1)B(2)m－3或m32[(1)不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈1，3恒成立，则?x∈1，3，a
而x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝4x，即
所以实数a的取值范围是?∞，
(2)因为x＋y＝1，所以x+12+y2＝1，所以4x+1+1y＝4x+1+1yx+12+y2＝2＋12+2yx+1+x+12y≥52＋22yx+1·x+12y＝92，当且仅当2yx+1
对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值．
(1)?x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
(2)?x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a；
(3)?x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a；
(4)?x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a．
[跟进训练]
1．(1)若对于任意的x0，不等式x2+3x+1x≥a
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(－∞，5] D．(－∞，5)
(2)若存在x∈[1，3]，使不等式x2－2ax＋a＋2≤0成立，则a的取值范围为________．
(1)C(2)[2，＋∞)[(1)令f(x)＝x2
由题意可得a≤f(x)min，
f(x)＝x＋1x＋3≥2x
当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，a≤f(x)min
所以实数a的取值范围为(－∞，5]．
(2)由x2－2ax＋a＋2≤0?x2＋2≤a(2x－1)，
因为x∈1，3，所以2x－1∈
令t＝2x－1∈1，5，x＝
由x2＋2≤a(2x－1)?a≥x2+22x?1
则有g(t)＝14t+9t+2≥142t·9t+2＝2，当且仅当
考点二基本不等式的常见变形应用
[典例2](多选)(2025·湖北咸宁模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()
A．ab有最大值1
B．1a+2b
C．a2＋b2有最小值1
D．a+b
ACD[对于A，由基本不等式可得ab≤a+b2＝12，当且仅当a＝
对于B，∵a＋b＝1，∴3a＋3b＝3，即(a＋2b)＋(2a＋b)＝3，∴1a+2b+12a+b＝1a+2b+12a+b·13[(a＋2b)＋(2a＋b)]＝1
对于C，由a2+b22≥a+b2＝12，得a2＋b2
对于D，由a+b2≤a+b2＝12，得a+b
基本不等式的常见变形
(1)ab≤a+b22≤a2+b22
(2)21a+1b
[跟进训练]
2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
(2)当12＜x＜52时，函数y＝2x?1
(1)BC(2)22[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤x+y2
即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－3x+y24
∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x2
∴x2＋y2≤2，故C正确，对于D选项，当x＝33，y＝－33时，满足题设条件，但x2＋y2＝
(2)法一：由a+b2≤a2+b22
则y＝2x?1+5?2x≤22x?1+5?2x2
当且仅当2x?1＝5?2x，即x＝32
法二：∵y＝2x?1+5?2x＞0，∴y2＝2x－1＋5－2x＋22x?15?2x＝4＋22x?15?2x≤4＋4＝8．当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝32时等号成立，∴y≤22．即函数y
【教用·备选题】
1．(多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是()
A．ab≤2 B．a+b
C．a23＋b2≥4 D．1
ACD[对于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，即ab≤a+b2＝2，当且仅当a
对于B，a＞0，b＞0，(a+b)2＝a＋b＋2ab＝4＋2ab≤4＋2
又a+b＞0，则a+b≤22，当且仅当
对于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4，
则a23＋b2＝a23＋(4－a)2＝4a23－8a＋16＝43(
对于D，a＞0，b＞0，因为a＋b＝4，所以a+b4
则1a+1b＝
当且仅当ba＝ab，即a＝
故选A