PAGE26/NUMPAGES27
第04讲基本不等式及其应用
目录
01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1基本不等式 3
题型破译 4
题型1直接法求最值 4
题型2配凑法求最值 5
题型3二次与二次（一次）的商式求最值 5
【方法技巧】形如的分式函数求最值
题型4“1”的代换求最值 5
【方法技巧】形如分式相加模型求最值
题型5双换元法求最值 6
【方法技巧】求两个分式的最值问题
题型6条件等式有和有积求最值 6
【方法技巧】等式有和有积求最值
题型7消元法求最值 7
题型8多次使用基本不等式求最值 7
【易错分析】注意“三相等”的条件
题型9利用基本不等式解决实际问题 8
题型10利用基本不等式在恒成立问题求参数 9
题型11基本不等式与对勾函数 10
【方法技巧】对勾函数图象
题型12多元均值不等式 11
【方法技巧】多元均值不等式公式
题型13基本不等式多选题的综合 11
04真题溯源·考向感知 12
05课本典例·高考素材 13
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）了解基本不等式的证明过程；
（2）能用基本不等式解决简单的最值问题；
（3）掌握基本不等式在生活实际中的应用；
?单选题
?多选题
?填空题
?解答题
/
北京卷T9（5分）
天津卷T14（5分）
考情分析：
近三年考情显示，高考对基本不等式的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行求最值的常用工具，难度不定，分值一般在5分左右。
复习目标：
1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”；
2.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值；
3.能正确处理常数“1”求最值；
4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法
知识点1基本不等式
1.基本不等式
1、如果，那么_______（当且仅当时取等号“=”）.
2、如果，,则或_______（当且仅当时取等号“=”）.
（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当_______时取等号．
注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．
其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的_______必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．
（2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次_______的一致性和不等号方向的一致性．
2.几个重要不等式
1. 2.
3. 4.
5._______.
3.最值定理
（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：_______)
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：_______)
4.常用方法
（1）拼凑法：拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成_______为定值或_______为定值的形式
（2）常数替代法：①根据已知条件或其变形确定定值；②把确定的定值变形为_______;
③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
④利用基本不等式求解最值.
（3）消元法：通常是考虑利用已知条件消去部分_______后，凑出“和为常数”或“积为常数”
自主检测已知，，且，则的最大值为（???）
A． B． C．1 D．
题型1直接法求最值
【例1】已知，则的最大值为（????）
A． B． C． D．1
【例2】已知且，则的最小值为
【变式1-1】已知，设，，则与的大小关系是（????）
A． B． C． D．不确定
【变式1-2】已知函数，则的最小值为．
【变式1-3】若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为.
题型2配凑法求最值
【例3】已知，则的最小值是（????）
A． B．1 C．4 D．7
【例4】已知，则取得最大值时x的值为（????）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知函数，，则函数的最小值为（????）
A． B．2 C． D．
【变式2-2】当时，则函数的最大值为．
题型3二次与二次（一次）的商式求最值
【例5】若，则的最小值是.
【例6】函数的最小值是，则当时，a的值为，当时，a的值为
方法技巧形如的分式函数求最值
通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换