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第03讲等式与不等式的性质
目录
01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1两个实数大小的比较 3
知识点2不等式的性质 4
题型破译 5
题型1作差法、作商法比较两数（式）的大小 5
题型2利用不等式的性质判断命题真假 6
【方法技巧】利用不等式判断正误的方法
题型3利用不等式的性质证明不等式 8
题型4利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 10
【易错分析】利用同向相加求范围出错
题型5不等式的综合 12
04真题溯源·考向感知 14
05课本典例·高考素材 15
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）理解用作差法比较两个实数大小的理论依据
（2）理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
?单选题
?多选题
?填空题
?解答题
/
/
/
考情分析：
近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。
复习目标：
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系
3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
知识点1两个实数大小的比较
作差法：
如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对.
这个基本事实可以表示为:.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
则有；；．
自主检测已知，，设，，则与的大小关系为．
【答案】
【详解】．因为，，所以，，，所以，所以．
知识点2不等式的性质
性质
性质内容
注意
对称性
传递性
可加性
可乘性
的符号
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
同正
自主检测（多选）下列命题为真命题的是（????）
A．若，则
B．若，，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】BC
【详解】对于A选项，若，，则，A错误；
对于B选项，若，，则，，B正确；
对于C选项，若且，则，
即，C正确；
对于D选项，若，取，，，
则，，此时，D错误.
故选：BC.
题型1作差法、作商法比较两数（式）的大小
例1-1设，则P，Q，R的大小关系是（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以．
因为，
又，所以，所以．
例1-2如果，比较与的大小并证明．
【详解】，理由如下：
，
当时等号成立，所以.
【变式1-1】设，，则（填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【详解】∵，即.
又，
.
故答案为：.
【变式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】这一事实表示为一个不等式为．
证明：，
又，，
，即，
即.
故选：
【变式1-3·变载体】若，则与的大小关系是．（用“”连接）
【答案】
【详解】方法一（作商法）：因为，
所以，
所以．
方法二（作差法）：，即．
故答案为：
题型2利用不等式的性质判断命题真假
例2-1（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，则，故，A错；
对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对；
对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对；
对于D选项，若，则，
所以，D对.
故选：BCD.
例2-2已知x，y是实数，则“”是“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件，
反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
方法技巧利用不等式判断正误的方法
①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【变式2-1】设，若，则下列不等式中不正确的是（???）