概率模型的辨识与应用
高考常考的概率模型有相互独立事件的概率模型、二项分布模型、超几何分布模型和正态分布模型，其中二项分布与超几何分布模型的辨识一直是学生的难点和易错点．
二项分布与超几何分布的区别与联系
超几何分布
二项分布
区别
描述的是不放回抽样问题(总体在变化)，一次性取
描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，一个一个地取
考察对象分为两类
每一次试验是伯努利试验
已知各类对象的个数
联系
(当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布
下面就高考常考的四种概率模型予以辨识说明．
题型一相互独立事件概率模型
[典例1](2024·扶风市期末)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为25，34
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)三人中恰有两人合格的概率．
[解](1)设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
且P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13，设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2
则三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×3
(2)三人都不合格的概率：P0＝P(ABC)＝P(A)·
(3)三人中恰有两人合格的概率：P2＝P(ABC)＋P(ABC
反思领悟相互独立事件概率模型的特征
(1)实际问题中所涉及的若干事件中每一个是否发生互不影响；
(2)因为事件A1，A2，A3，…，An相互独立，则满足P(A1·A2·A3·…·An)
(3)求解相互独立事件的概率问题时，常涉及互斥、对立事件的概率求值．
题型二二项分布概率模型
[典例2]甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道．每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13．比赛采用三局两胜制，先胜两局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得
(1)求比赛结束甲得6分的概率；
(2)设比赛结束乙得X分，求随机变量X的分布列与数学期望．
[解](1)记事件A为“比赛结束甲得6分”，
则事件A为“乙以0∶2败给甲或乙以1∶2败给甲”，
所以P(A)＝232+C2
所以比赛结束甲得6分的概率为2027
(2)由题意得，X可取2，4，6，
则P(X＝2)＝232＝
P(X＝4)＝C21×
P(X＝6)＝C21×
即X的分布列为
X
2
4
6
P
49
827
727
所以E(X)＝2×49＋4×827＋6×727
反思领悟二项分布概率模型的特征
(1)在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；
(2)各次试验中的事件是相互独立的；
(3)在每一次试验中，事件发生的概率保持不变．
题型三超几何分布概率模型
[典例3](2024·河南安阳高三期末)不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序地发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施．为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
民宿
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
普通型民宿
19
5
4
17
13
18
9
20
10
15
品质型民宿
6
1
2
10
11
10
9
12
8
5
(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；
(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望．
[解](1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B，
所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝C52C
(2)这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，随机变量X的可能取值有0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C64C104
P(X＝1)＝C41C63
P(X＝2)＝C42C62
P(X＝3)＝C43C61
P(X＝4)＝C44C
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
114
821
37
435
1210
所以E(X)＝0×15210＋1×80210＋2×90210＋3×24210＋4×1210
反思领悟解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超