阶段提能(十四)直线与圆
1．(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T4)求圆心在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为27的圆的方程．
[解]由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝r2，
则圆心(a，3a)到直线x－y＝0的距离d＝a-3a2＝2|
依题意，r
解得a=1，
所以所求圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9．
2．(北师大版选择性必修第一册P46复习题一C组T3)已知直线l与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，是否存在斜率为1的直线l使得以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解]存在．设直线l的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为以AB为直径的圆恰好经过原点，
所以OA·OB＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0．
由x
得x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0，
整理得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，
由题意Δ＝(2b＋2)2－4×2(b2＋4b－4)0，
即b2＋6b－90(*)．
而x1＋x2＝－2b+22＝－b－1，x1x2
所以b2＋4b－4＋b(－b－1)＋b2＝0，
所以b＝1或b＝－4，满足(*)式，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4．
3．(苏教版选择性必修第一册P75复习题T16)设b为实数，若直线y＝x＋b与曲线x＝1-y2恰有一个公共点，求
[解]曲线x＝1-y2即x2＋y2＝1(x≥0)，表示以原点O(0，0)为圆心，1为半径的半圆(位于y轴上及y轴右侧的部分
如图，当直线经过点A(0，－1)时，得b＝－1；
当直线经过点C(0，1)时，得b＝1；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得0-0+b2＝1，解得b＝2(舍去)或b＝－
由数形结合可得当直线y＝x＋b与曲线x＝1-y2恰有一个公共点时，实数b的取值范围为(－1，1]∪{－2
4．(人教B版选择性必修第一册P116练习BT4)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点．
(1)求线段AB的垂直平分线的方程；
(2)若|AB|＝22，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求过点P(4，4)的圆C的切线方程．
[解](1)依题意，所求直线过圆心且与x－y＋1＝0垂直，易得圆心C(2，1)，
所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3．
(2)圆心(2，1)到直线AB：x－y＋1＝0的距离
d＝2-1+112+
所以圆的半径r＝d2+AB
所以12-42+-22-4
(3)由题意知点P(4，4)不在圆上，
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－4)，即kx－y－4k＋4＝0，
由圆心到切线的距离等于半径2，
即2k-1+4-4kk2+1＝
所以所求切线方程为5x－12y＋28＝0．
②当所求切线的斜率不存在时，过P点的直线方程为x＝4，圆心C到x＝4的距离为2，等于半径，故直线x＝4是圆C的切线．
综上，所求切线的方程为x＝4或5x－12y＋28＝0．
5．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为()
A．2 B．2
C．3 D．32
D[由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为1+3+212+-12＝3
6．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()
A．1 B．2
C．4 D．25
C[因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令x-1=0，
故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．
将圆的方程化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆的图象如图所示，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝5，此时|AB|＝2|AP|＝2AC2-PC2＝2
故选C．]
7．(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()
A．1 B．2
C．3 D．4
B[将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3．设点(