第4课时随机事件、频率与概率
[考试要求]1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．2．理解事件间的关系与运算，会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．3．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率和概率的区别与联系．4．理解古典概型及其概率计算公式．当直接求某一事件的概率较为复杂时，会转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率．
考点一随机事件与样本空间
1．样本空间与样本点
(1)样本点：把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件?(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
[典例1](1)(2025·湖北襄阳模拟)已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题有()
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()
A．5 B．6
C．7 D．8
(1)C(2)D[(1)因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn图如图．
对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；
对于②：任取x?A，则x∈B是随机事件，故②不正确；
对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；
对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x?B，则x?A是必然事件，故④正确．所以①③④正确，正确的命题有3个．故选C．
(2)因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}，共8个样本点．]
反思领悟本例(1)判断一个事件主要看结果是否发生；本例(2)确定样本空间，首先必须明确事件发生的条件，然后按一定次序列出问题的答案．
巩固迁移1(1)下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩(满分150分)一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是()
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)(人教A版必修第二册P231练习T3改编)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
(1)B(2)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}5[(1)①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件．故选B．
(2)任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5．]
考点二事件的关系与运算
事件的关
系或运算
含义
符号表示
图形表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件
(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件
(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互
不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝?，A∪B＝Ω
[典例2](1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是()
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球
C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
(2)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机