第8课时二项分布、超几何分布与正态分布
[考试要求]1．理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
考点一n重伯努利试验与二项分布
1．两点分布
如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
2．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
n重伯努利试验及其概率
[典例1](1)若某射手每次射击击中目标的概率均为23，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为(
A．49 B．
C．481 D
(2)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表：
使用时间/天
10～20
21～30
31～40
41～50
51～60
个数
10
40
80
50
20
若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()
A．1316 B．
C．2532 D
(1)B(2)D[(1)在某射手连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为C422321
(2)由题意可知，该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为34，因此，从该批次机械元件中随机抽取3个，至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P＝C32×
反思领悟n重伯努利试验概率求解的策略
(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
巩固迁移1甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为
1172[事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形，其概率P＝C31×
二项分布
[典例2](2025·济南模拟)某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位主编进行初审．若两位主编的初审都通过，则予以录用；若两位主编的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位主编的初审，则再由另外的两位主编进行复审，若两位主编的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位主编初审的概率均为13，复审的稿件能通过各位主编复审的概率均为1
(1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；
(2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
[解](1)由题意可得投到该杂志社的1篇稿件初审直接被录用的概率P1＝132＝
投到该杂志社的1篇稿件初审没有被录用，复审被录用的概率P2＝C21×
故投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率P＝P1＋P2＝19+1
(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B3，
P(X＝0)＝C30×
P(X＝1)＝C31×29
P(X＝2)＝C32×29
P(X＝3)＝C33×
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
343729
98243
28243
8729
故E(X)＝3×29＝2
反思领悟(1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．
(2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(3)有些随机变量虽不服从二项分布