北京市中国人民大学附属中学2024?2025学年高三下学期数学统练（4）
一、单选题
1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（????）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（???）
A．1 B． C．2 D．
3．设，则中最大的是（???）
A． B． C． D．
4．若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（???）
A． B．
C． D．
5．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（???）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．已知、是抛物线上的两点，且线段的中点横坐标为，则的最大值是（???）
A． B． C． D．
7．“”是“函数在上单调递减”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设，且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（???）．
A． B． C． D．
9．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（????）
A．25台 B．24台 C．23台 D．22台
二、多选题
10．已知函数，则的极值点的个数情况可能为（???）
A．没有极值点 B．有无穷多个极值点
C．恰有2025个极值点 D．恰有2026个极值点
三、填空题
11．已知为奇函数，则实数的值是．
12．已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为．
13．已知平面向量满足且，则的最大值为.
14．如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为．
15．记为数列的前项和，为数列的前项和，已知，其中为某个常数，给出下列四个结论:
①存在使得是非常数列的等比数列；②存在使得是非常数列的等差数列；
③存在使得是递减数列；④存在使得是递减数列.
其中所有正确结论的序号是.
四、解答题
16．在中，.
(1)求的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)已知平面.
①求二面角的正弦值；
②点到平面的距离.
18．无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：
测试
结果真实
路况
传感器1
传感器2
传感器3
有障碍
无障碍
无法识别
有障碍
无障碍
无法识别
有障碍
无障碍
无法识别
无障碍
4
15
1
1
15
4
8
12
0
有障碍
40
10
10
45
5
10
45
10
5
假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．
（1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；
（2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；
（3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明）
19．已知椭圆的长轴的两个端点分别为，短轴的两个端点与恰构成一个等边三角形的三个顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
20．已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数.
（1）当时，求在处的切线方程;
（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围