安徽省合肥市第八中学2024?2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
一、单选题
1．的虚部为（???）
A．1 B． C．8 D．
2．已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（???）
??
A．2 B．3 C．4 D．6
3．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（???）
A． B． C． D．
4．将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（???）
A． B． C． D．
5．某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小红、小强三个员工，要求每个员工都有拿到面包，则小明最终拿到偶数个面包的情况有（???）
A．180种 B．210种 C．240种 D．360种
6．已知函数的部分图象如下所示，其中，，其中，则（???）
A． B．1 C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，第一象限的点在抛物线上，且．若，则抛物线C的准线方程为（???）
A． B． C． D．
8．若曲线与圆无交点，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知且，则函数的图象一定经过（???）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则（???）
A．双曲线C的离心率为
B．若，则
C．若，则
D．若，直线l的倾斜角为，则
11．若数列满足：对其任意项，总存在唯一，使得，则称数列具有“前项封闭性质”．下列说法正确的是（???）
A．数列1，2，3，4具有“前项封闭性质”
B．数列1，2，，3具有“前项封闭性质”
C．若数列的前n项和为，则数列具有“前项封闭性质”
D．已知具有“前项封闭性质”的数列满足，数列为等差数列，则
三、填空题
12．已知向量，若，则．
13．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为元．
14．在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为．
四、解答题
15．近年来，“社区咖啡”的理念在全国各地深入人心，“社区咖啡”主要采用手冲咖啡的模式．已知某款手冲咖啡的二段萃取时间在到之间，现将某咖啡师一个月内完成的1000次咖啡二段萃取时间进行统计，结果如图所示．
（1）求a的值及这1000次二段萃取时间在的次数；
（2）求这1000次咖啡二段萃取时间的中位数以及平均数；
（3）以频率估计概率，若从该咖啡师无数次的咖啡二段萃取时间中随机抽取3次，至少有2次萃取时间超过的概率．
16．已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若关于x的不等式恒成立，求m的取值构成的集合．
17．已知等差数列的前n项和为，其中，数列的前n项积为，且．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18．如图，四棱锥中，底面是菱形，其中，且S到B，D两点的距离相等，．
（1）求证：平面SAC；
（2）已知，点R在平面ABQ内，．
（i）若，求DR的最小值；
（ii）当二面角的正弦值最小时，求m的值．
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，点M随线段AB的滑动而运动．
（1）求动点M的轨迹的方程；
（2）直线与交于C，D两点，若直线OC，OD的斜率之积为，求k的值；
（3）若点P，Q，R，S在上，动点N在内，点O，N，P，R四点共线，且，求四边形PQRS面积的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】，
故复数的虚部为1.
故选A．
2．【答案】B
【详解】由题意得，图中阴影部分表示的集合为，
因为集合，可得，
所以阴影部分所示集合的元素个数为个.
故选B．
3．【答案】C
【详解】依题意，.
故选C．
4．【答案】D
【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心，
故该四面体的外接球体积，
又，平面AOC，，
所以平面AOC，
二面角的大小为，，
,
故所求体积之比为，
故选D．
5．【答案】C
【详解】若小明拿到2个面包，则有；
若小明拿到4个面包，则有种；
故小明最终拿到偶数个面包的情况有种，
故选C
6．【答案】B
【详解】依题意，为等腰直角