2025年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1．已知全集，集合，则_________．
2．不等式的解集为_________．
3．己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．
4．在二项式的展开式中，的系数为_________．
5．函数在上的值域为_________．
6．已知随机变量X的分布为，则期望_________．
7．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．
8．设，则的最小值为_________．
9．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．
10．已知复数z满足，则的最小值是_________．
11．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
12．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是_______．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）
13．己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（）
A．B．C．D．0
14．设．下列各项中，能推出的一项是（）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
15．已知，C在上，则的面积（）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
16．设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的n有（）
A．1个B．3个C．4个D．无穷
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）
17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）2024年东京奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
19．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆，，A是的右顶点．
（1）若的焦点，求离心率e；
（2）若，且上存在一点P，满足，求m；
（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．