河北省2025届高三下学期普通高等学校招生考试预测卷（一）数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（????）
A． B． C． D．
4．化简：（????）
A． B． C． D．
5．已知函数，若图象上相邻的两个零点之间的距离是，且，则（????）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知抛物线，是的焦点，是的准线与轴的交点，若曲线上的点满足：，则（????）
A． B．4 C． D．5
7．函数与函数的图象的交点个数为（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，，若，则下列说法正确的是（????）
A．与的夹角 B．
C． D．在方向上的投影向量为
10．已知一组非负数样本数据为2，3，5，8，，，则下列说法中正确的是（????）
A．该组数据至多有2个众数 B．若该组数据的分位数为8，则
C．该组数据的平均数小于极差 D．当时，该组数据的方差最小
11．已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（????）
A． B．的一个周期为2
C．的图象关于对称 D．
三、填空题
12．已知，则．
13．已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为.
14．已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正四面体（圆台表面厚度忽略不计），则该正四面体体积的最大值为．
四、解答题
15．如图，在中，角所对的边分别为，已知是的角平分线，且．
（1）求角的值；
（2）若，求长的最大值．
16．某书店年终为回馈广大书友拟举办“赢书卡”答题活动．该活动设立两个关卡，分别为号关卡和号关卡．若小明在号关卡通关率为，通关奖励是500元购书卡；在号关卡通关率为，通关奖励是600元购书卡；未通关则无奖励．
（1）若书店只允许随机选择一个关卡闯关，求小明通关的概率；
（2）若书店规定在第一关通关后必须连续闯关，通关即可获得对应通关奖励，第一关闯通关失败后终止游戏，两关奖励互不影响．小明通过掷骰子选择闯关的序号，若他掷出的点数小于3，则先选择号关卡，否则选择号关卡，记小明赢得购书卡金额为元，则的分布列和数学期望．
17．如图，在长方体中，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）记．
（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）若，且，求证：．
19．在直角坐标系中，点与点的连线的斜率的乘积为定值，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若点是上两点，且满足直线与的斜率之和为.
（ⅰ）若点坐标为，求直线的斜率；
（ⅱ）若为的外心，证明：平分.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，则，
且，，则，
，
故选C
2．【答案】B
【详解】若数列为常数列，此时是等差数列，但不是等比数列，充分性不成立；
若数列既是等差数列又是等比数列，则，，
当时，，此时为常数列；当时，；
数列为常数列，必要性成立；
综上所述：“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的必要不充分条件.
故选B.
3．【答案】B
【详解】，
如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以；
应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以；
因为有两根且互为相反数，所以.
综上：.
故选B．
4．【答案】A
【详解】.
故选A.
5．【答案】C
【详解】依题意，
，即，.
又，，
，将代入，
可得，即，
，或4，
又，.
故选C
6．【答案】D
【详解】
由抛物线可知，.
因为，所以根据双曲线的定义可知：点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，且，，
所以的轨迹方程为.
联立，化简整理得，即，
解得，或（舍去）.
所以由抛物线定义及焦半径公式可知.
故选D.
7．【答案】B
【详解】令函数，，则定义域为，
，是奇函数，
当时，；
由为奇函数可得当时，，
而函数是偶函数，且当时，，
则函数与的图象在时无交点；
当时，令，求导得，
函数在上单调递增，又，
，因此在上只有一个零点，
所以函数与的图象交点只有一个.
故选B
8．【答案】A
【详解】是关于的二次函数，其对称轴为，
因为，且在区间上单调递增，
所以正零点一定在区间上，
又因为，
所以，所以，
则，故.
故选A．
9．【答案】AD
【详解】∵，∴，∴.又，∴，故选项A正确；
∵，∴，
当