2025年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（八）数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（???）
A． B． C． D．
2．若，则（???）
A．1 B． C． D．2
3．设双曲线与的离心率分别为，若，则（???）
A． B． C．1 D．2
4．已知非零向量满足，则（???）
A． B． C． D．
5．已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（????）
A．1 B． C． D．2
6．函数在区间的极大值点的数目为（???）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知三台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数目之比为，现任取一个零件，记事件“零件由第1台车床加工”，“零件为次品”，则（???）
A． B． C． D．
8．设直线分别交曲线与曲线于两点，若点在上，满足为等边三角形，则（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．样本数据0，2，3，，，7的平均数为3，方差为，中位数为，则（???）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至点，得到四棱锥为的中点，则（???）
A．平面
B．的长为定值
C．四棱锥体积的最大值为
D．直线与平面所成角的最大值为
11．设函数的定义域为，最小正周期为，当时，方程有15个解．记时，方程的解的个数为，则（???）
A． B．
C． D．的可能取值共有3种
三、填空题
12．记为等差数列的前项和，已知，则．
13．已知，则．
14．在下面的方格表中，要求该方格表的每一行，每一列及每条对角线的四个方格均包含1，2，3，4四个数字，则．
1
2
3
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为棱的中点，交于点，且平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知椭圆的离心率为，左顶点为．
（1）求的方程；
（2）设点为上一点且在轴上方，直线分别交轴于两点．若的面积比的面积大，求点的坐标．
17．如图，在中，．
（1）求；
（2）若点在边上，，求．
18．设正整数，编号依次为的卡片顺时针摆成一圈．从1号卡片开始，沿顺时针方向将与之相邻的卡片移走，再对下一张卡片进行相同的操作．例如：在移走与1号相邻的2号卡片后，接着移走与3号相邻的4号卡片．依此循环，直到最后只剩一张卡片，记其编号为．
（1）求；
（2）设为正整数，证明：；
（3）从集合中随机抽取一个数，求的概率．
19．已知函数，记为从小到大排序的第个极值点．
（1）证明：在区间的最大值为；
（2）直接判断与的大小关系并证明：为递减数列；
（3）设为正整数，为奇数，为偶数，且，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以，
故选C
2．【答案】A
【详解】因为，
所以，
故选A
3．【答案】B
【详解】双曲线的离心率为，
双曲线离心率为，
因为，
所以，
解得，即.
故选B.
4．【答案】B
【详解】由，得，则，而，
因此，又，
所以.
故选B
5．【答案】A
【详解】连接，则，
而的最小值为点C到直线l的距离，
所以.
故选A.
6．【答案】C
【详解】，
因为，故由正弦函数性质知，时，，，函数递增，
当时，，，函数递减，为函数的一个极大值点，
所以时，函数有1个极大值点；
由正弦函数的周期性，可知在上，函数有5个极大值点，
故选C
7．【答案】D
【详解】记事件“零件由第台车床加工”，则，
，
由全概率公式得：
，
故.
故选D
8．【答案】C
【详解】由得，即，由得，即，
所以，为等边三角形，如图，则，
所以，解得，
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，由题意可知，解得，故A正确；
对于B，因为，所以，
当时，有，当且仅当时等号成立，
所以，故B错误；
对于C，方差，
由可知，当时，，此时，
当时，，此时，
综上所诉，，故C正确；
对于D，当时，样本数据的中位数，
当时，设，由可知，，
按照从小到大的顺序排列，中间两个数可以是或，
此时中位数，综上所述，中位数，故D正确.
故选ACD
10．【答案】AB
【详解】对于A，取中点，连接，由是的中点，得，
，则四边形为平行四边形，，平面，
平面，因此平面，A正确；
对于B，由选项A知，，B正确；
对于C，点到直线的距离为斜边上的高，则，
四边形的面积，当平面平面时，
点到平面的距离最大为，四棱锥体积的最大值，C错误；
对于D，，则直线与平面所成角等于与平面所成角，
点到平面距离的最大值为，而，
则直线与平面所成角的正弦值最大值为，D错误.
故选AB
11．【答案】AC
【详解】由条件知是常值C，且对正整数，恒成立，
代入，得选项A正确；
当从1增长