专题：随机变量的分布与特征
【知识园地】
1、若用表示随机变量的概率，则分布可表示为：
______________________
特点：__________
2、期望：=_____________________
期望线性性质：（1）是一个随机变量，是一个实数，那么_________________
是两个随机变量，那么_________________
3、方差：=_________________________
方差性质：（1）是一个随机变量，是一个实数，那么=________________
是两个随机变量，那么_________________
4、常用分布：
★超几何分布
若有a个白球，b个黑球，不放回地任取n个，设其中白球个数为，的分布为超几何分布，我们称服从超几何分布。
白球个数k的概率为______________________，其中
辨析：若一个分布称为超几何分布，需要满足：选取是不放回的
超几何分布的期望：
例如：若有3个白球，2个黑球，不放回地任取2个，设其中白球个数为，求分布
★二项分布：重复n次成功概率为P的伯努利试验，其成功次数的分布称为二项分布，也称为成功的次数服从二项分布代表___________,代表___________
成功次数k的概率________________________
分布为
辨析：若一个分布称为二项分布，需要满足（1）选取是有放回地（2）样本总数未知
二项分布的期望和方差：
例如：若有3个白球，2个黑球，有放回地任取2个，设其中白球个数为，求分布
【练习】
掷一颗骰子，观察掷得的点数
求点数的分布；
只关心点数6是否出现，若出现，则记，否则记，求的分布
（3）求以上两个分布的期望和方差；
例2、（1）掷2颗骰子，求掷得点数和为3的概率；
（2）求点数和的分布和期望。
例3、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求其中含有次品数X的分布和方差
例4、已知随机变量X的分布如下：
求m的值；
求E[X]，
若Y=2X+3，求，
例5、设袋中装有大小与质地相同的6个白球，4个黑球。现不放回地摸5个球，用表示摸出的白球的个数，求的分布
一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取20次，用表示抽到二等品的件数，写出、的表达式，并求的值
现有个盒子，其中第一个盒子中装有个白球、个黑球；第二个盒子装有个白球、个黑球；第三个盒子装有个白球、个黑球.现任取一个盒子，从中任取个球.
（1）求取到的白球数不少于个的概率；
（2）设为所取到的白球数，求取到的白球数的期望.
在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；
（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数X的分布和数学期望．
★正态分布：
密度函数：_________________________,
其中（1）是该分布的期望或均值；（2）是该分布的方差，且总是假设
定义：设是一个取实数值的随机变量，如果对任何给定的实数与（），落在区间上的概率等于三条直线：_________________与正态密度函数
的图像所围的区域面积，那么服从正态分布，或说服从参数为的正态分布，记为_____________
当时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作____________其密度函数_____________________称为标准正态分布的密度函数
用__________表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积，称为标准正态分布。________________
如果~，那么_________________服从标准正态分布；
例9、（1）设随机变量服从正态分布，若，则.
（2）设，，则.
（3）如果随机变量，且，那么.
例10、（23二模）设两个正态分布和的
正态密度函数图像如图所示，则
A．；B．；
OxC．；D．．
O
x
【作业】