指数式、对数式、幂式的大小比较
题型一临界值法比较大小
[典例1](1)(2024·天津高考)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为()
A.abc B.bac
C.cab D.bca
(2)已知a=log52,b=1log0.10.7,c=0.70.3,则a,b
A.acb B.abc
C.bca D.cab
(1)B(2)A[(1)因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.300.3,
所以04.2-0.34.204.20.3,
所以04.2-0.314.20.3,即0a1b.
因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且00.21,
所以log4.20.2log4.21=0,即c0,
所以bac.
故选B.
(2)∵log51log52log55,∴0a12
∵b=1log0.10.7=log0.7
∴b1,∵0.710.70.30.70,∴0.7c1,∴acb.故选A.]
临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值,如常考虑a,b,c与特殊数字“0”“1”“12”的大小关系.
[跟进训练]
1.(1)(2025·山西运城模拟)设a=140.8,b=log0.30.2,c=log0.30.4,则a,b,
A.abc B.bac
C.cab D.bca
(2)已知a=2log32,b=2log5
A.abc B.bac
C.cba D.cab
(1)D(2)B[(1)a=121.612,即0a12,b=log0.30.21,即b1,因为0.420.3,所以log0.30.42log0.30.3=1,即log0.30.412,且log0.30.4log0.3
所以bca.故选D.
(2)根据换底公式log32=1log23,log5
因为log25log231,所以0log52log321,
故12log52
又c=12?1.1=21.12
所以bac.故选B.]
题型二数形结合法比较大小
[典例2](多选)(2025·重庆巴蜀中学模拟)已知实数a,b,c满足:2a=13b=log2
A.bac B.abc
C.acb D.bca
ABC[令2a=13b=log2c=t,在同一直角坐标系中画出y=2x,y=13x,y=log
由图象可知:
当y=t在①位置时,bac;
当y=t在②位置时,abc;
当y=t在③位置时,acb;
bca不可能成立.故选ABC.]
本例属于方程根问题,求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题,如将问题转化为函数y=2x,y=13x,y=log2x的图象与直线y=t
[跟进训练]
2.(2025·山西晋中模拟)若ea=-lna,e-b=lnb,e-c=-lnc,则()
A.abc B.acb
C.bca D.bac
B[在同一直角坐标系中画出y=ex,y=e-x,y=lnx,y=-lnx的图象,
由图象可知acb.故选B.]
题型三利用指数、对数及幂的运算性质比较大小
[典例3](1)设a=ln22,b=ln33,c=ln66,则
A.abc B.bca
C.bac D.cab
(2)已知a=3log83,b=-12log1316,c=log43,则a
A.abc B.cab
C.bca D.bac
(1)C(2)A[(1)由题意得a0,b0,c0,
ab=3ln22ln3=ln8ln91,故b>a;ac=6ln22ln6
(2)由题意可得a=3log83=3×log23log
b=-12log1316=-12×
又log23-log34=lg3lg2
由于lg20,lg40,lg2≠lg4,∴lg2lg4lg2+lg422=(lg
故log23-log340,∴ab,综合可得abc,故选A.]
作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法,即对两值作差(商),看其值与0(1)的关系,从而确定所比两值的大小关系.
[跟进训练]
3.(1)若a=log54,b=log43,c=34
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.c>b>a
(2)(2024·安徽阜阳一模)设a=log23,b=log812,c=lg15,则a,b,c的大小关系为()
A.abc B.acb
C.bac D.cba
(1)C(2)D[(1)因为8164,所以3464=434,所以log43log
又lg50,lg30,所以lg5×lg3lg5+lg32
因为lg4lg15,
所以log54log43=l