第6节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
【知识梳理】
1.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|eq\f(π,2))一个周期内的简图时，要找五个关键点
x
－eq\f(φ,ω)
－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)
eq\f(π－φ,ω)
eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)
eq\f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq\f(π,2)
π
eq\f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq\f(2π,ω)
f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
[常用结论与微点提醒]
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).()
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).()
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()
答案(1)×(2)×(3)√(4)√
解析(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))).故当ω≠1时平移的长度不相等.
2.(必修一P239T2改编)为了得到函数y＝3sin(2x－eq\f(π,5))的图象，只需把函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的图象上所有的点()
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，横坐标不变
答案B
3.(必修一P241T5改编)将函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象向左平移eq\f(π,3)后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(11,12)π))
解析g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))
＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,4)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(11,12)π)).
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为________.
答案f(x)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(3,4)π))
解析由图可得A＝2eq\r(3)，
又T＝2×[6－(－2)]＝16，故ω＝eq\f(π,8)，
故eq\f(π,8)×6＋φ＝2kπ(k∈Z)，
得φ＝2kπ－eq\f(3π,4)(k∈Z)，
又|φ|＜π，得φ＝－eq\f(3π,4)，
所以f(x)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(3,4)π