第2课时常用逻辑用语
[考试要求]1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
考点一充分、必要条件的判断与应用
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件?AB；
(2)p是q的必要不充分条件?BA；
(3)p是q的充要条件?A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件?A与B没有包含关系．
定义法判断充分、必要条件
[典例1](2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
B[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
法二：因为“a2＝b2”?“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”?“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
反思领悟定义法判断充分、必要条件的关键是推断p?q，q?p是否成立．
巩固迁移1(2025·天津北辰区模拟)已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A[若a＝b＝0，则|a＋b|＝0；反之，当a＝－1，b＝1时，符合|a＋b|＝0，不能得出a＝b＝0，
即“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的充分不必要条件．故选A．]
集合法判断充分、必要条件
[典例2](2025·云南昆明模拟)设a∈R，则“2＜a＜3”是“(a＋1)(a－6)＜0”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A[由(a－6)(a＋1)＜0，得－1＜a＜6，因为(2，3)是(－1，6)的真子集，
所以“2＜a＜3”是“－1＜a＜6”的充分不必要条件．故选A．]
反思领悟子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件．
巩固迁移2(2025·成都郫都区模拟)可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是()
A．m12 B．m
C．m－12 D．m－
A[由题意，Δ＝1－4×1×m≥0，
解得m≤14，而m≤14可以推出m＜12，故选
充分、必要条件的应用
[典例3](2025·芜湖镜湖区模拟)已知集合P＝{x|a－2≤x≤3a＋1}，Q＝{x|－1≤x≤6}．
(1)若a＝2，求?R(P∩Q)；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解](1)当a＝2时，P＝{x|0≤x≤7}，
Q＝{x|－1≤x≤6}，
所以P∩Q＝{x|0≤x≤6}，
所以?R(P∩Q)＝{x|x＜0，或x＞6}．
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以PQ，
当P＝?时，有3a＋1a－2，解得a－32
当P≠?时，则3a+1
所以1≤a≤53
综上，实数a的取值范围是aa
反思领悟解题时易颠倒充分性与必要性而出错，所以在解答这类问题时，一定要分清条件和结论，选择恰当的方法作出准确判断．
巩固迁移3已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是()
A．(－∞，3] B．(2，3]
C．? D．[2，3]
B[若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则BA，所以m+12m-1，m+1≥-2，2m-1≤5
考点二全称量词与存在量词
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示．
2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题及其否定
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，
p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
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