函数中的构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，既可能在选择、填空题中运用，也可能在解答题中运用，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决解不等式、恒成立等问题．
题型一利用f(x)与xn构造函数
[典例1]已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x0时，2f(x)xf′(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是________．
(－1，0)∪(0，1)[构造F(x)＝fxx2，则F′(x)＝fx·x-2fxx3，当x0时，xf′(x)－2f(x)0，可以推出当x0时，F′(x
∵f(x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)的图象如图所示，根据图象可知f(x)0的解集为(－1，0)∪(0，1)．]
反思领悟(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)．
特别地，①出现xf′(x)＋f(x)形式，构造函数F(x)＝xf(x)；
②出现xf′(x)＋2f(x)形式，构造函数F(x)＝x2f(x)．
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fx
特别地，①出现xf′(x)－f(x)，构造函数F(x)＝fx
②出现xf′(x)－2f(x)，构造函数F(x)＝fx
题型二利用f(x)与ex构造函数
[典例2]定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)1，f(0)＝4，则不等式exf(x)ex＋3的解集为________．
[阅读与思考]设g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex，因为f(x)＋f′(x)1，所以f(x)＋f′(x)－10，所以g′(x)0，所以y＝g(x)在定义域R上单调递增，因为exf(x)ex＋3，所以g(x)3，又因为g(0)＝e0f(0)－e0＝3，所以g(x)g(0)，所以x0，即x∈(0，＋∞)．
反思领悟(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；特别地，出现f′(x)＋f(x)形式，构造函数F(x)＝exf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxenx；特别地，出现f′(x)－f(x)形式，构造函数F(x)
题型三利用f(x)与sinx，cosx构造函数
[典例3](2025·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx0，则下列说法正确的是()
A．f5π6－f7π6－f
B．－f7π6f5π6－f
C．－f-π6－f7π6
D．－f-π6f5π6－
[阅读与思考]由f(x－1)的图象关于点(1，0)对称可知，f(x)的图象关于点(0，0)对称，则f(x)为奇函数，令g(x)＝f(x)sinx，则g(x)为偶函数，
又当x0时，g′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g-π6＝gπ6g5π6
即－12f-π612f5π6－
即－f-π6f5π6－f7π
反思领悟函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式：
F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)·cosx；
F(x)＝fxsinx，F′(x)
F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)·sinx；
F(x)＝fxcosx，F′(x)
【教用·备选题】
1．已知偶函数f(x)的定义域为-π2，π2，其导函数为f′(x)，当0xπ2时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx0成立，则关于x的不等式f(x)2fπ
A．-π2，-π
C．-π2，-
A[因为偶函数f(x)的定义域为-π2，π2，所以设g(
则g(－x)＝f-xcos
即g(x)也是偶函数．当0xπ2
根据题意g′(x)＝fx
则g(x)在0，
则g(x)在-π
所以f(x)2fπ3cosx?fxcosxfπ3cosπ
所以x
解得x∈-π2
2．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋3f(x)0，则关于x的不等式x3-13f(x－3)－f(3)0的解集为
A．(3，6) B．(0，3)
C．(0，6) D．(6，＋∞