第2课时常用逻辑用语
[考试要求]1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
提醒：p是q的充分不必要条件(p?q且qp)，与p的充分不必要条件是q(q?p且pq)两者是不同的．
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
否定
?x∈M，?p(x)
?x∈M，?p(x)
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
[常用结论]
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件?AB；
(2)p是q的必要不充分条件?AB；
(3)p是q的充要条件?A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件?A与B没有包含关系．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件． ()
(2)“x1”是“x0”的充分不必要条件． ()
(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题． ()
(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词． ()
[答案](1)√(2)√(3)×(4)√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p：?n∈N*，n2n－1，则命题p的否定为()
A．?n∈N*，n2≤n－1 B．?n∈N*，n2n－1
C．?n∈N*，n2≤n－1 D．?n∈N*，n2n－1
C[由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p：?n∈N*，n2n－1的否定?p为“?n∈N*，n2≤n－1”．故选C．]
2．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为()
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B[因为ac＞bc，c＞0?a＞b，ac＞bc，c＜0?a＜b，所以ac＞bca＞b，而由a＞bac＞bc，所以“ac＞bc”是“a＞b”的既不充分也不必要条件，故A，C错误．又ac=bc，c≠0?a＝b，ac=bc，c=0a＝b，所以由ac＝bca＝b，由a＝b?ac＝bc，所以
3．(多选)(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)已知命题p：?x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是()
A．p是真命题
B．?p：?x∈R，x＋20
C．?p是真命题
D．?p：?x∈R，x＋20
CD[当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：?x∈R，x＋2≤0的否定为?p：?x∈R，x＋20，故D正确，B错误；?p是真命题，故C正确．]
4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
[答案][3，＋∞)
考点一充分、必要条件
充分、必要条件的判定
[典例1](多选)下列命题为真命题的是()
A．“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件
B．“ab”是“1a1b
C．若P，Q为非空集合，“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件
D．“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
ACD[对于A，由abac2bc2(c＝0时不成立)，由ac2bc2?ab，则“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题；
对于B，若a0，b0，则由ab得不到1a1
易知C，D中命题是真命题，故选ACD．]
【教用·备选题】
1．(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．
故选C．]
2．(2