例例4.2.1若取E＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}及B＝{2,5}，则有：A∪B＝{1,2,4,5}， A∩B＝{2}， A-B＝{1,4}，A?B＝{1,4,5}， Ac＝{0,3,5}， Bc＝{0,1,3,4}。例4.2.2设Σ是一个字母表，用Σn表示Σ上全体长度为n的串组成的集合(n∈Ｚ)，则：Σ*＝Σ0∪Σ1∪Σ2∪……＝Σ+＝Σ*－{ε}＝Σ1∪Σ2∪……＝定义4.2.2如果A和B是集合,A∩B=Φ,那么称A和B是不相交的。如果C是一个集合的族,使C的任意两个不同元素都不相交,那么C是(两两)不相交集合的族。例：四个集合：{1,2,3}、{4}、{5,6}和{7,8,9,10}是两两互不相交的定理4.2.1设A、B和C是三个集合，则有⑴A?A∪B，B?A∪B；⑵A∩B?A，A∩B?B；⑶A-B?A；⑷若A?B，则Bc?Ac；⑸若A?C且B?C，则A∪B?C；⑹若A?B且A?C，则A?B∩C。特别重要1.子集之并仍为子集2.扩集之交仍为扩集定理4.2.2设A、B、C和D是四个集合，且A?B，C?D，则⑴A∪C?B∪D；⑵A∩C?B∩D。定理4.2.3设A和B是两个集合，则下面三个关系式互相等价。⑴A?B；⑵A∪B＝B；⑶A∩B＝A。集合运算的基本恒等式(集合运算基本律)P98-P99集合等式与不等式证明的一般方法(1)试证明：A∪(A∩B)=A方法1：A∪(A∩B)=(A∩E)∪(A∩B)=A∩(E∪B)=A∩E=A不足：强调技巧，不规范死记公式难以推广应用方法2：显然，A?A∪(A∩B)；另一方面，A?A且A∩B?A故A∪(A∩B)?A。总之，A∪(A∩B)=A。适用于子集之并为子集、母集之交为母集的问题引用集合运算基本律集合等式与不等式证明的一般方法(2)依据指定原理根据指定原理，为了证明A=B(A、B为集合表达式)，只需证明：?xx∈A?x∈B为了证明A?B，只需证明：?xx∈A?x∈B这样集合等式与不等式的证明转变成谓词公式等价与蕴含的证明了。证明谓词公式等价与蕴含可采用等价变换或逻辑推证。一般而言，等价变换比逻辑推证有明显优点。但等价变换也有缺点。集合等式与不等式证明的一般方法(3)证明：P(A∩B)=P(A)∩P(B)证：(等价变换)?S S∈P(A∩B) ?S∈P(A)∩P(B)依据指定原理?S?A∩BS∈P(A)∧S∈P(B)?S?A∧S?B?？证：一方面，因为A∩B?A，A∩B?B所以P(A∩B)?P(A)，P(A∩B)?P(B)从而P(A∩B)?P(A)∩P(B)另一方面，?S∈P(A)∩P(B)，即S∈P(A)且S∈P(B)来说，有S?A且S?B所以S?A∩B，即S∈P(A∩B)这表明P(A)∩P(B)?P(A∩B)(逻辑推证)思考:P(A∪B)=P(A)∪P(B)？集合等式与不等式证明的一般方法(4)试证明：A∩(B-A)=Φ证明：?xx∈A∩(B-A)?x∈A∧x∈B-A?x∈A∧x∈B∧x?A?x∈Φ ∴A∩(B-A)=Φ注意到空集被定义为矛盾式的广延，所以这个证明可以简化。反证法假若不然，即?x：x∈A∩(B-A)这说明x∈A，且x∈B-A与B-A的定义相矛盾总结(集合等式与不等式证明的一般方法)引用集合运算基本律子集之并仍为子集扩集之交仍为扩集指定原理等价变换(例4.2.5，定理5.1.3、5.4.5的证明……)逻辑推证(例4.2.4)反证法主要适用于证明某集合表达式为空集的情形文氏图(Venndiagram)A∪BA∩BA-B=A-A∩B4.3Venn氏图及容斥原理容斥原理|A∪B|