函数性质的综合应用
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
题型一函数的奇偶性与单调性
[典例1](1)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x10且x1＋x20，则()
A．f(x1)f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小关系不确定
(2)(2024·曲靖麒麟区三模)若定义在R上的函数满足f(x－2)＝－f(2－x)，且在(－∞，0)单调递减，f(3)＝0，则满足(x－1)f(x)≥0的x的取值范围是()
A．[－3，0]∪[1，3]
B．(－∞，－3]∪{0}∪[1，3]
C．[－3，0)∪[1，3]
D．[1，＋∞)
(1)A(2)A[(1)由x10，x1＋x20，得0x1－x2，又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x1)f(－x2)，f(x)是偶函数，f(－x2)＝f(x2)，
∴f(x1)f(x2)．
(2)因为定义在R上的函数满足f(x－2)＝－f(2－x)，
所以f(x)为奇函数，
因为f(x)在(－∞，0)单调递减，f(3)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－3)＝－f(3)＝0，f(0)＝0，
由(x－1)f(x)≥0可得x-1≥
即x≥1，0x≤
即1≤x≤3或－3≤x≤0．故选A．]
反思领悟奇偶性与单调性综合的两种题型及解法
(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小．
(2)抽象不等式问题，解题步骤是：
①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．
题型二函数的奇偶性与周期性
[典例2]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递增，则()
A．f(6)f(－7)f11
B．f(6)f112f(－
C．f(－7)f112f(
D．f112f(－7)f(
B[∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，
f(－7)＝f(1)，
f112＝f32＝－f-12＝
又当x∈[0，1]时f(x)单调递增，
∴f(0)f12f(1)
即f(6)f112f(－7)．故选B．
反思领悟本题解题关键是利用奇偶性和周期性将f(6)，f(－7)，f112中的6，－7，112转化到单调区间[0，
题型三函数性质的综合应用
[典例3]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数．若f(x)在(0，3)上单调递减，则下列结论正确的是()
A．f(10)f(e12)f
B．f(e12)f(ln2)f
C．f(ln2)f(10)f(e1
D．f(ln2)fe12)f
A[∵f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6．
又∵y＝f(x＋3)为偶函数，∴f(x＋3)＝f(－x＋3)，∴f(10)＝f(4＋6)＝f(4)＝f(1＋3)＝f(－1＋3)＝f(2)．
∵1e122，
∴0ln21e12
又∵f(x)在(0，3)上单调递减，∴f(2)f(e12)f(ln2)，即f(10)f(e12)
故选A．]
反思领悟对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【教用·备选题】
1．(2024·辽宁六校联考)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则下列说法正确的是()
A．函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称
B．函数f(x)的图象关于直线x＝2成轴对称
C．在区间(2，3)上，f(x)单调递减
D．f-72f
C[f(4－x)＝f(2－(x－2))＝f(x－2)＝－f(2－x)＝－f(x)，