阶段提能(四)幂、指、对(型)函数及其图象、函数零点问题
1．(湘教版必修第一册P152复习题四T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg3≈0.48．从数量级的角度考虑，下列各数中与MN最接近的是(
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
D[由题意可得，M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有3＝10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，
∴MN≈101731080＝1093
2．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9)已知函数y＝a12x＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2
(1)求该函数的解析式，并画出图象；
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
[解](1)因为函数y＝a12x＋
所以0＝a＋b，
由函数的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，得b＝2，又a＋b＝0，所以a＝－2，
则y＝－2·12x＋
(2)由图知，y＝－212x＋2是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，
3．(人教A版必修第一册P140习题4.4T5)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝12log3
(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．
[解](1)当一条鱼的耗氧量O＝2700个单位时，它的游速v＝12log3O100＝12log32700100
(2)当v＝12log3O100＝0时，O100＝1，解得O
所以鱼静止时耗氧量的单位数为100．
4．(人教A版必修第一册P156习题4.5T13)有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答：
由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)0，解得－18a524．所以，实数a的取值范围是
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
[解]不正确．理由如下：
当a＝0时，f(x)＝4x－1，此时零点为14
当a≠0时，令24ax2＋4x－1＝0，
①当Δ＝0时，16＋96a＝0，解得a＝－16，函数f(x)的图象与x轴交于点12，0，f(x
②当Δ0时，16＋96a0，解得a－16
a．若f(－1)≠0，且f(1)≠0，则f(－1)·f(1)＝(24a－5)·(24a＋3)0，解得－18a5
b．若f(－1)＝0，则24a－5＝0，解得a＝524，此时f(x)＝5x2＋4x－1，令f(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1
∴x＝15是(－1，1)
c．若f(1)＝0，则24a＋3＝0，解得a＝－18，此时f(x)＝－3x2＋4x－1，令f(x)＝0，解得x1＝1，x2＝1
∴x＝13是(－1，1)
综上，a∈-1
5．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cosx在区间-π2，π
AB
CD
A[令f(x)＝(3x－3－x)cosx，x∈-π
则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)
＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当x∈0，π2时，3x－3－x＞0，cosx
所以f(x)＞0，排除C．
故选A．]
6．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()
A．abc B．bac
C．cab D．bca
B[因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.300.3，
所以04.2-0.34.204.20.3，
所以04.2-0.314.20.3，即0a1b．
因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且00.21，
所以log4.20.2log4.21＝0，即c0，
所以bac．
故选B．]
7．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是()
A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
D[A选项：lgP＝lg10263，T＝220，由题图易知处于固态；B选项：lgP＝lg128