阶段提能(六)三角函数的概念及三角恒等变换
1．(人教A版必修第一册P186习题5.2T18)(1)分别计算sin4π3－cos4π3和sin2π3－cos
(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？
(3)证明：?x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x．
[解](1)sin4π3－cos4π3＝324－124＝
sin2π3－cos2π3＝322－122＝
发现：sin4π3－cos4π3＝sin2π3－cos
(2)取α＝π4，sin4π4－cos4π4＝224－2
sin2π4－cos2π4＝222－22
发现：sin4π4－cos4π4＝sin2π4－cos
(3)证明：对于任意实数x，都有sin2x－cos2x＝(sin2x－cos2x)·(sin2x＋cos2x)＝sin4x－cos4x．得证．
2．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sinπ3-x＝13，且0xπ2，求sin
[解]因为0xπ2，所以－π6π3－x
所以cosπ3-x
所以sinπ6+x
＝cosπ3-x
cos2π3+x＝cosπ-π3-
3．(人教A版必修第一册P230习题5.5T18)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
[解]结论：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝34
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)
＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα·(cosαcos30°－sinαsin30°)
＝sin2α＋32cosα-12sinα2＋3
＝sin2α＋34cos2α＋14sin2α－32sinαcosα＋32sinα·cosα－
＝34(sin2α＋cos2α)＝3
得证．
4．(人教A版必修第一册P230习题5.5T20)设f(α)＝sinxα＋cosxα，x∈{n|n＝2k，k∈N＋}．利用三角变换，估计f(α)在x＝2，4，6时的取值情况，进而猜想x取一般值时f(α)的取值范围．
[解]由题易知当x＝2时，f(α)＝sin2α＋cos2α＝1．
当x＝4时，f(α)＝sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2α·cos2α＝1－12sin22α
∵－1≤sin2α≤1，
∴0≤sin22α≤1，
∴12≤1－12sin22α≤1，即f(α)∈
当x＝6时，
f(α)＝sin6α＋cos6α＝(sin2α)3＋(cos2α)3
＝(sin2α＋cos2α)·(sin4α＋cos4α－sin2α·cos2α)
＝1－12sin22α－14sin22α＝1－34sin22α
猜想：当x＝2k，k∈N＋时，f(α)的取值范围是12
5．(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25π12＝(
A．12 B．
C．22 D
D[法一(公式法)：因为cos5π12＝sinπ2-5π
所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－
＝cos2×π12＝cosπ6＝32
法二(构造法)：设cos2π12－cos25π12＝a，sin2π12－sin25π
则a＋b＝cos2π12+sin2π12
a－b＝cos
＝cos2×π12－cos2×5π12＝cos
＝2cosπ6＝3，
所以根据①＋②可得2a＝3，即a＝32
即cos2π12－cos25π12＝32．
法三(代值法)：因为cosπ12＝6
cos5π12＝6
所以cos2π12－cos25π12＝6+24
故选D．]
6．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则sinθ1+sin2
A．－65 B．－2
C．25 D
C[法一(求值代入法)：因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以sinθ=
所以sinθ1+
＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ
＝45-25＝2
法二(弦化切法)：因为tanθ＝－2，
所以sinθ1+
＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin
＝tan2θ+tanθ1+tan2θ
法三(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，
所以sinθ＝－2cosθ．
则sinθ1+
＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin
＝4c