阶段提能(九)平面向量、复数
1．(人教A版必修第二册习题6.2P24T21)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB+AC，|OA|＝|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为(
A．14BC
C．－14BC D
A[如图，由2AO＝AB+AC知O为
因为O为△ABC的外接圆圆心，
所以OA＝OB＝OC．
因为|OA|＝|AB|，所以AB＝OB＝OA＝OC，
所以△ABO为等边三角形，
∠ABO＝60°，所以BA在BC上的投影向量为12BO＝
故选A．]
2．(人教A版必修第二册P52习题6.4T2)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，NA+NB+NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
C[∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到△ABC三个顶点的距离相等，
∴O是△ABC的外心．
∵NA+NB+
∴N是△ABC的重心．
∵PA·PB＝PB·
∴PB·(PA-PC)＝0，PB·
∴PB⊥CA，
同理得到PC⊥AB，PA⊥
得到P是△ABC的垂心．
故选C．]
3．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T9)已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R),z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．
[解]由z1＝z2，得m
消去m，可得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4sinθ-3
由于－1≤sinθ≤1，可得－916≤λ≤7，即λ的取值范围是-
4．(人教B版必修第三册P90习题8-1BT3)若向量a＝(x，2x)，b＝(－3x，2)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
[解]∵a与b的夹角为钝角，
∴cos〈a，b〉0且a与b不共线．
∴-3x2
故满足条件的x的取值范围是-∞，-1
5．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝()
A．－2 B．－1
C．1 D．2
C[∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，
∴2a＝2且1－a2＝0，
解得a＝1，故选C．]
6．(2024·新高考Ⅰ卷)若zz-1＝1＋i，则z＝(
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
C[因为zz-1＝z-1+1z-1＝1＋1z-1＝1＋i，所以z＝1＋1i＝
7．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则()
A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x＝－1＋3”是“a∥b”的充分条件
C[对于A，当a⊥b时，则a·b＝0，
所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；
对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±3，即必要性不成立，故B错误；
对于D，当x＝－1＋3时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．
故选C．]
8．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝()
A．12 B．
C．32 D．
B[因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝22．故选B．
9．(2024·北京卷)已知向量a，b，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的()
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A[因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，
可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，
若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；
若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，
例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．
综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要不充分条件．故选A．]
10．(2024·上海卷)已知a＝(2，5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为________．
15[∵a∥b，∴2k＝5×6，解得k＝15．]
11．