球的切、接、截问题
球的切、接、截问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算能力．其关键是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体的切、接问题来解决．
题型一球的截面问题
球的截面有关性质
解决球的截面问题抓住以下几个方面：
(1)球心到截面圆的距离；
(2)截面圆的半径；
(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形)．球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为：R2＝d2＋r2．
[典例1](2024·临沂质检)在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是()
A．11π B．20π
C．32π D．27π
B[设球心为O，内部点为D，则截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值．因为半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，所以截面与OD垂直时，截面圆的半径为36-16＝20，所以截面面积的最小值为20π．故选B．]
反思领悟球的截面问题关键是利用球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r构建方程求解．
巩固迁移1已知球O与正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面相切，平面ACB1截球O所得的截面的面积为2π3，则正方体棱长为(
A．33 B．
C．1 D．2
D[设正方体棱长为2a，则球O的半径为a，
∵平面ACB1截此球所得的截面的面积为2π3
∴截面圆的半径为23
由题意，球心O与B的距离为12×23a＝3a
设球心O、点B到平面ACB1的距离分别为d，h，由等体积法VB-ACB1＝VB1-ABC可得h＝
∴a2＝232＋
∴a＝1，即正方体棱长为2a＝2．故选D．]
题型二柱体与球
1．正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．球的直径等于球的内接长方体的体对角线长．
结论：(1)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：①球内切于正方体，此时2R＝a；②球与正方体的棱相切，此时2R＝2a；③球外接于正方体，此时2R＝3a．
(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则外接球的半径是a2
2．正三棱柱的外接球
球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心．R2＝h柱22
3．圆柱的外接球
R＝h22+r2(R是圆柱外接球的半径，h
[典例2](1)(2025·合肥模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝3π4，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(
A．43πB．8πC．12πD．20π
(2)(2025·湛江模拟)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且过一个顶点的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．
(1)A(2)14π[(1)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝BC2sin∠BAC＝22
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为R＝r2+AA12
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为43πR3＝43π．故选A
(2)长方体外接球直径等于长方体体对角线长，设外接球半径为R，
则2R＝12+2
所以球的表面积S＝4πR2＝14π．]
反思领悟直棱柱外接球半径R＝h22+
巩固迁移2已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________．
823π[设△ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为
底面△ABC为直角三角形，故其外接圆圆心D在斜边AC中点处，则r＝1，
又OD＝12AA1＝1，在Rt△OCD
R＝r2+1
所以V球＝43πR3＝823
题型三锥体与球
1．正棱锥与球
(1)内切球：V正棱锥＝13S表·r＝13S底·h(等体积法)，r是内切球半径，
(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h)．
2．正四面体的外接球、内切球
若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，则h＝63a，R＝64a，r＝612a，R∶r＝3
3．圆锥的外接球
R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径)．
[典例3](多选)(2024·钦州期末)已知三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝2，则()
A．三棱锥P-ABC外接球的表面积为12π
B．三棱锥P-ABC外接球的表面积为48π
C．三棱锥