阶段提能(十二)空间中的平行与垂直
1．(人教A版必修第二册P152练习T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心．
(2)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点．
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心．
(1)外(2)中(3)垂[(1)∵PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O是△ABC的外心．
(2)如图，由(1)知，点O是△ABC的外心，
又∠ACB＝90°，
∴点O是斜边AB的中点．
(3)连接AO并延长交BC于点E，连接PE．
∵PA⊥PB，PC⊥PA，PB∩PC＝P，PB，PC?平面PBC，
∴PA⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，∴BC⊥PA．
∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PO⊥BC．
又PO∩PA＝P，PO，PA?平面PAE，
∴BC⊥平面PAE．
∵AE?平面PAE，
∴BC⊥AE．
同理可证HC⊥AB，BG⊥AC，
∴O是△ABC的垂心．]
2．(人教B版必修第四册P108练习BT3)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，A，C是平面α内两点，直线PA和PC分别与β相交于B和D．
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．
[解](1)证明：直线PB与直线PD可确定平面γ，
且γ分别与α，β交于AC，BD．
因为α∥β，所以AC∥BD．
(2)由(1)知△PAC∽△PBD，所以PAPB＝PC
所以PD＝PB·PCPA＝4+5×3
3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8T10)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′．
(1)求证：A′D⊥EF；
(2)求三棱锥A′-EFD的体积．
[解](1)证明：折叠前AD⊥AE，CD⊥CF，折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F＝A′，A′E，A′F?平面A′EF，
∴A′D⊥平面A′EF．
∵EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF．
(2)由(1)可知，A′D⊥平面A′EF，
∴三棱锥D-A′EF的高A′D＝AD＝2，
又△A′EF折叠前为△BEF，
E，F分别为AB，BC的中点，
∴S△A′EF＝S△BEF＝12×1×1＝1
∴VA′-EFD＝VD-A′EF＝13S△A′EF·A′D＝13×12
4．(2024·天津卷)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是()
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
C[对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误．
对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n相交或异面，故D错误．故选C．]
5．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m．下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．
其中所有真命题的编号是()
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
A[对于①，当n?α时，因为m∥n，m?β，则n∥β；
当n?β时，因为m∥n，m?α，则n∥α；
当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m?α，m?β，则n∥α且n∥β，故①正确；
对于②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；
对于③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，
因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，
同理可得n∥t，则s∥t，因为s?平面β，t?平面β，则s∥平面β，
因为s?平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；
对于④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误．
综上只有①③正确，故选A．]
6．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()
A．π2 B．
C．π4 D
D[法一：如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP．又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP．连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．