阶段提能(十五)圆锥曲线的综合应用
1．(人教A版选择性必修第一册P146复习参考题3T11)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，求顶点C的轨迹．
[解]设顶点C(x，y)．
因为AC，BC所在直线的斜率都存在，
所以kAC＝yx+5(x≠－
kBC＝yx-5(x≠
根据题意，得kAC·kBC＝m，
所以yx+5·yx-5＝m(
因为m≠0，所以方程可变形为x225-y225
所以，当m0时，点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，除去(－5，0)，(5，0)两点；当－1m0时，点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，除去(－5，0)，(5，0)两点；当m＝－1时，点C的轨迹是圆，除去(－5，0)，(5，0)两点；当m－1时，点C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，除去(－5，0)，(5，0)两点．
2．(人教B版选择性必修第一册P167习题2－7C组T1)已知抛物线y2＝4x，且P是抛物线上一点．
(1)设F为抛物线的焦点，A(6，3)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标；
(2)设M的坐标为(m，0)，求|PM|的最小值(用m表示)，并求出取得最小值时点P的坐标．
[解](1)易知点A在抛物线内部，过P作PB垂直抛物线的准线于点B，如图所示，由抛物线的定义知|PF|＝|PB|，所以|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，当B，P，A三点共线时，|PF|＋|PA|取最小值，为7，此时yP＝3，xP＝94，即点P的坐标为9
(2)设点P的坐标为(t2，2t)(t∈R)，则|PM|2＝(t2－m)2＋(2t－0)2．令t2＝u(u≥0)，则|PM|2＝u2＋(4－2m)u＋m2＝[u＋(2－m)]2＋m2－(2－m)2．①当m≤2时，函数y＝u2＋(4－2m)u＋m2在[0，＋∞)上单调递增，当u＝0时，|PM|min＝|m|，此时点P的坐标为(0，0)；②当m2时，函数y＝u2＋(4－2m)u＋m2在[0，m－2]上单调递减，在[m－2，＋∞)上单调递增，所以当u＝m－2时，|PM|min＝2m-1，此时点P的坐标为(m－2，±2m-2
3．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8B组T2)已知直线l：y＝x－3与抛物线C：x2＝－8y相交于A，B两点，且O为坐标原点．
(1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标；
(2)判断OA⊥OB是否成立，并说明理由．
[解]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与抛物线的方程，可得y
消去y并整理，得x2＋8x－24＝0，Δ0，
由根与系数的关系，得x
因为点A，B在直线l上，所以y
(1)|AB|＝x1
2x1+x
因为x1+x22＝－4，y
所以线段AB的中点坐标为(－4，－7)．
(2)OA⊥OB不成立，理由如下：因为OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2+-18x12-18x22＝x1x2＋164(x1
4．(北师大版选择性必修第一册P83习题2－4B组T4)已知点E(1，0)，直线l：y＝x＋m与椭圆x24+y22＝1相交于A，B两点，是否存在直线l满足|
[解]法一：联立y
可得3x2＋4mx＋2m2－4＝0．
设直线l与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16m2－12(2m2－4)0，
即－6m6．
因为x1＋x2＝-4m3，x1x2＝
所以AB的中点为M-2
若|EA|＝|EB|，则EM⊥AB，
即EM·BA＝0，设x1x2，
则y1y2，EM＝-2
BA＝(x1－x2，y1－y2)，
x1－x2＝x
＝-4
＝2236-
即BA＝22
所以EM·BA＝2236-
解得m＝－3或m＝±6．
因为此时不满足Δ0，所以不存在直线l满足|EA|＝|EB|．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x124+y122＝
＝x1-1
＝x122－2x1＋3＝12(x1－2)
同理可得|BE|2＝12(x2－2)2＋1
因为－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，二次函数y＝12(x－2)2＋1在[－2，2]上单调递减，所以不存在不同的两个值x1，x2，使它们的函数值相等，即不存在点A，B满足|EA|＝|EB|，所以不存在直线l满足|EA|＝|EB|
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为()
A．x216+y24＝1(y0) B
C．y216+x24＝1(y0) D
A[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以x02+4y02＝16(y00)，即
即点M的轨迹方程为x216+y24＝1(
6．