阶段提能(十六)排列、组合、二项式定理
1．(北师大版选择性必修第一册P169习题5－2B组T2)甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，产生了第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩．回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”．试仅从这个回答中分析5人的名次排列共有多少种情况．
[解]甲、乙都不是冠军，因此冠军只能从丙、丁、戊这三名学生中选1名，有A31种选法；乙不是最差的，即乙不是第五名，则第五名只能从除去冠军和乙外的其余三名学生中选1名，有A31种选法，第二名到第四名任排，有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有
2．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．
(1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
[解](1)从5名男生和4名女生中选出4人参加创新大赛，则4人中男生和女生各选2人，共有
C52·C42＝10×
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，
则男生中的甲和女生中的乙必须在内有C72＝21(种
(3)男生中的甲和女生中的乙不在内的情况，共有C74＝35(种
则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内有C94-C74＝126－
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女，
则4人中必须既有男生又有女生有
C51C43+C52C4
3．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T5)(1)求(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项；
(2)求9x
(3)已知(1＋x)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；
(4)求(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数；
(5)求(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数．
[解](1)依题意，第3项是含x2的项，其系数是C4232+C41
∴展开式中按x的升幂排列的第3项为－26x2．
(2)由展开式的通项Tk＋1＝C18k(9x)18-
＝C18k336-3k
令18－32k＝0，得k＝12
∴常数项为T13＝18564．
(3)由题意得2Cn9＝
得n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23．
(4)原式＝(1－x3)(1－x)9
＝1-x3
∴x4的系数为C94＋9＝13
(5)原式＝[(x2＋x)＋y]5，
∴其展开式的通项Tk＋1＝C5k(x2＋x)5-ky
令k＝2，∴5－k＝3，∴T3＝C52(x2＋x)3y
又(x2＋x)3的展开式的通项为T′r＋1＝C3r(x2)3-rxr＝C3r
令6－r＝5，∴r＝1，∴T′2＝C31x6-1＝C31x
∴(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为C52C3
4．(人教B版选择性必修第二册P35习题3－3BT4)已知13x-
[解]由题意知Cn0+Cn2+Cn
∴n＝11，
∴展开式中二项式系数最大的项为T6和T7．
∵T6＝C115·13x6·1
T7＝C11613x5
∴展开式中二项式系数最大的项为－462x-4和462x-
5．(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式有()
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
B[先将丙和丁捆绑在一起，有A22种排法，再将其与乙、戊排列，有A33种排法，最后将甲插入中间两空，有C21种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22
6．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
C[甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61＝6(种)情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C51C41＝20(种)情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20＝
7．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()
A．120种 B．60种
C．30种 D．20种
B[先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C51种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A42种安排方式，所以不同的安排方式共有C51·A
8．(2024·天津卷)在