概率、统计的交汇问题
近几年高考特别注重对概率和统计结合、概率和其他知识(如数列与函数)结合的综合考查，通常以实际问题为背景，通过构建数学模型，突出考查统计与概率思想、数据处理能力和应用意识．复习备考时，要把基础知识理解透彻，在情境问题中能够发现考查的本质问题．
(1)注重情境，注重审题
考查概率、统计的试题多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．对题目的准确理解，找到数学模型是解答题目的关键．
(2)关注素材，注重图表
图表语言具有直观、简洁、信息量大等特点，高考试题经常以图表作为情境材料呈现，准确读表(图)、识表(图)和用表(图)的能力至关重要，要从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策．
(3)关注生活，注重应用
多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，培养和提升数据处理能力、数学建模能力，培养用数据说话的理性思维．
(4)重视交汇，提升能力
统计与概率具有广泛应用性，一方面，统计和概率、计数原理等知识可以有机结合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学知识相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，有必要针对统计与概率和其他知识相结合的问题进行训练．
题型一概率中递推关系的应用——马尔科夫链
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt)．
[典例1](2024·无锡江阴期初)王先生准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种出行．从即日起出行方式选择规则自定如下：第一天选择骑自行车出行，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．设pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生选择骑自行车出行”的概率．
(1)用pn－1表示pn(n≥2)；
(2)求pn(n≥2)．
[解](1)设一次性抛掷4枚均匀硬币得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～B4，12，P(ξ3)＝C40×124+C41×124+C42×124＝1116，则P(ξ≥3)＝1－P(ξ3)＝516．用An－1表示事件“第(n－1)天王先生选择的是骑自行车出行”，An表示事件“第n天王先生选择的是骑自行车出行”，由全概率公式知：pn＝P(An)＝PAnAn-1PAn-1+PAnAn-1PAn-1＝pn－1·P(ξ3)＋(1－pn－
(2)由(1)知，pn－12＝38pn-1-12，n≥2，因为p1＝1，所以p1－12＝12，所以pn－12≠0，所以pn-12pn-1-12＝38
反思领悟概率中的数列问题解题步骤
(1)弄清初始事件的概率p1(或p0)．
(2)利用事件关系寻求第n步的概率pn与第(n＋1)步的概率pn＋1之间的关系，即递推关系pn＋1＝f(pn)．
(3)利用数列的相关知识，由已知p1与pn＋1＝f(pn)求出通项公式pn．
【教用·备选题】
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8．
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
[解](1)X的所有可能取值为－1，0，1．
P(X＝－1)＝(1－