指数、对数、幂值的大小比较
指数、对数、幂值的大小比较是高考的热点之一．主要考查指数、对数的运算性质，以及幂函数、指数函数、对数函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现．
题型一利用函数性质
[典例1](1)设a＝4323，b＝4334，c＝3234，则
A．acb B．abc
C．cba D．bca
(2)(2024·苏州实验学校月考)已知函数f(x)＝1x－x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5-0.5，则(
A．f(b)f(a)f(c) B．f(c)f(b)f(a)
C．f(b)f(c)f(a) D．f(a)f(b)f(c)
(1)C(2)C[(1)因为函数y＝43x为增函数，所以43
即ab，
又因为函数y＝x3
所以4334
即bc，故cba．
故选C．
(2)由a＝log52log55＝1，且a＝log52log51＝0，故0a1；
b＝log0.50.2log0.50.25＝2，c＝0.5-0.5＝10.50.5＝2，故bc
又因为函数f(x)＝1x－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(b)f(c)f(a)
故选C．]
反思领悟本例(1)中4323与4334底数相同，指数不同，利用指数函数y＝43x底数a=431的单调性比较；4334与3234
题型二临界值法(插值法)比较大小
[典例2](1)已知a＝log53，b＝212，c＝7-0.5，则a，b，c的大小关系为
A．abc B．acb
C．bac D．cba
(2)已知a＝log52，b＝1log0.10.7，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为
A．acb B．abc
C．bca D．cab
(1)C(2)A[(1)因为1＝log55log53log55＝log5512＝12，即12a1，b＝21220＝1，c＝7-0.5＝17121412＝1
(2)因为log51log52log55，
所以0a12
因为b＝1log0.10.7＝log0.70.1log0.70.7
所以b1，因为0.710.70.30.70，
所以0.7c1，
所以acb．]
反思领悟本例比较大小的关键是寻找合适的中间值或其他能判断大小关系的中间量．常考虑a，b，c与数字“0”“1”“12”
题型三含变量问题的大小比较
[典例3]已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()
A．2x3y5z B．5z2x3y
C．3y5z2x D．3y2x5z
D[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225log232＝5z，3y＝log3125log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log293y．
综上可得，3y2x5z．
法二(作差法)：
令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k1，
则x＝lgklg2，y＝lgklg
因为k1，所以lgk0，
所以2x－3y＝2
＝lg
＝lgk·
故2x3y，2x－5z＝2
＝lg
＝lgk·
故2x5z．
所以3y2x5z．
法三(作商法)：
令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k1．
则x＝lgklg2，y＝lgklg
所以2x3y＝23·lg3lg2＝lg
5z2x＝52·lg2lg5＝lg
所以5z2x3y．]
反思领悟本例这类涉及三个指数式连等(或三个对数式连等)的含参变量比较大小问题，可利用特值法求解，也可在设元变形的基础上，通过作差或作商求解．
【教用·备选题】
1．(2024·重庆北碚区月考)设a＝ln1，b＝log23，c＝22，则a，b，c的大小关系为(
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
A[a＝ln1＝0，因为log22＜log23＜log24，所以1＜log23＜2，即1＜b＜2，
又因为c＝2221＝2
所以a＜b＜c．
故选A．]
2．(2025·上饶信州区模拟)设13a＝2，b＝log12
A．abc B．acb
C．bca D．bac
B[由题意可知，a＝log132log131＝0，b＝log1213＝log
0c＝12-13＝213212＝
进阶训练(二)指数、对数、幂值的大小比较
1．(2025·石嘴山市平罗县模拟)若a＝2π-2，b＝6-1，c＝213，则(
A．b＞a＞c B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
D[因为a＝2π-2＞21＝2，c＝2132，所以a＞c，因为b＝6-1＝161，c＝213
所以c＞b，所以a＞