第6课时幂函数与二次函数
[考试要求]1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点一幂函数的图象及性质
1．定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．常见的五种幂函数的图象及性质
项目
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x-1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
单调
递增
x∈[0，＋∞)
时，单调递增
x∈(－∞，0]
时，单调递减
单调
递增
单调
递增
x∈(0，＋∞)
时，单调递减
x∈(－∞，0)
时，单调递减
公共点
(1，1)
3．幂函数的性质
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
(2)当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
(3)当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
(4)当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
提醒：(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质．
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
[典例1](1)(人教A版必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点22，12，则f(3)
A．9 B．3
C．3 D．
(2)(2024·保定期中)若幂函数y＝xmn(m，n∈N*，且m，n互素)的图象如图所示，则下列说法中正确是(
A．m，n是奇数且mn
B．m是偶数，n是奇数，且mn
C．m是偶数，n是奇数，且mn
D．m，n是偶数，且mn
(1)A(2)C[(1)设y＝f(x)＝xα，则f22＝22α＝12，所以
则f(x)＝x2，所以f(3)＝32＝9．故选A．
(2)由题图知，函数y＝xmn为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸
所以mn＜1，故选C．
反思领悟本例(1)中，应注意幂函数的特征：①形式都是f(x)＝xα，其中α是常数，底数x是自变量；②幂函数式前的系数都是1；③幂函数中只有一个未知数x．所以只需知道幂函数图象上一个点的坐标，就可以利用待定系数法设出函数表达式，进而求出解析式．本例(2)考查幂函数图象及性质的理解，应熟悉常见的五种幂函数的图象．
巩固迁移1(1)(2024·河南月考)已知f(x)＝(k2＋2k＋2)x2k+1＋m－3是幂函数，则f(m)＝()
A．3 B．23
C．6 D．1
(2)(2025·信阳新县模拟)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则()
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a
C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
(1)D(2)B[(1)由题知k2＋2k＋2＝1，解得k＝－1，又∵m－3＝0，解得m＝3，
∴f(x)＝x-1＝1x，∴f(m)＝f(3)＝13．故选
(2)根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知，
b＞c＞1＞d＞0＞a，即b＞c＞d＞a．
故选B．]
考点二二次函数的解析式
二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；其中，(m，n)为抛物线顶点坐标，x＝m为对称轴方程．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
[典例2]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
[解]法一(利用二次函数的一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得4a+2
故所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7．
法二(利用二次函数的顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝2+-12＝
∴m＝12，又根据题意函数有最大值8
∴n＝8，∴y＝f(x)＝ax-12
∵f(2)＝－1，∴a2-122＋8＝－1，解得a
∴f(x)＝－4x-122＋8＝－4x2＋4
法三(利用二次函数的零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1．
又函数有最大值8，即4a-2a
解得a＝－4或