第2课时导数与函数的单调性
[考试要求]1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
考点一利用导函数的图象研究函数的单调性
函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
[典例1](1)(湘教版选择性必修第二册P32练习T1改编)导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()
AB
CD
(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为()
AB
CD
(1)D(2)D[(1)由题图可知，当x0时，f′(x)0，当x0时，f′(x)0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合．
(2)观察函数f(x)的图象得，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上先递增，再递减，后又递增，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)0，即当x∈(－∞，0)时，函数y＝f′(x)的图象在x轴上方，于是排除A，C，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)的值先大于0，接着变为小于0，之后又变为大于0，即当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f′(x)的图象先在x轴上方，接着变化到x轴下方，最后又变化到x轴上方，于是排除B，选项D相符．]
反思领悟本例(1)关键是分析导函数图象是在x轴上方还是在x轴下方．在x轴上方(f′(x)0)，原函数图象“上升”，在x轴下方(f′(x)0)，原函数图象“下降”；本例(2)关键是观察原函数图象是“上升”还是“下降”，产生变化的点，分析函数值的变化趋势．
巩固迁移1(1)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()
AB
CD
(2)(多选)(人教A版选择性必修第二册P89练习T3改编)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是()
A．在区间(0，a)上，f(x)为定值
B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增
C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增
D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减
(1)C(2)BD[(1)由题干中f(x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f′(x)0，当x∈(1，4)时，f(x)单调递增，f′(x)0，当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f′(x)0，由选项各图知，选项C符合题意，故选C．
(2)由题图知，当0xa时，f′(x)0且为定值；当axc时，f′(x)单调递减，且在x∈(a，b)上，f′(x)0，在x∈(b，c)上，f′(x)0；当cxe时，f′(x)单调递增，且在x∈(c，d)上，f′(x)0，在x∈(d，e)上，f′(x)0，所以当0xa时，f(x)单调递增且为斜率大于0的直线，当axb时，f(x)单调递增，当bxc时，f(x)单调递减，当cxd时，f(x)单调递减，当dxe时，f(x)单调递增，其大致图象如图．]
考点二不含参数的函数单调性问题
利用导数求函数的单调区间(不含参数)
(1)对于可导函数y＝f(x)，不等式f′(x)0的解集(区间)为函数y＝f(x)的单调递增区间；不等式f′(x)0的解集(区间)为函数y＝f(x)的单调递减区间．
(2)求函数单调区间的步骤
①求函数的定义域；
②在定义域内解不等式f′(x)0或f′(x)0；
③将不等式的解集写成区间的形式．
[常用结论](1)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
(2)若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解．
[典例2](1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是()
A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx
(2)函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间为________．
(1)B(2)(0，1)[(1)对于A，f′(x)＝2cos2x，f′