第4课时导数与函数的极值
[考试要求]1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数．
考点一根据图象判断极值
函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
提醒：(1)对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
(2)极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大．
[典例1](2024·西安临潼区二模)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论正确的是()
A．y＝f(x)在x＝－1处取得极大值
B．x＝1是函数y＝f(x)的极值点
C．x＝－2是函数y＝f(x)的极小值点
D．函数y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减
C[由题干图象知，当x＜－2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x≥－2时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
所以当x＝－2时，函数f(x)取得极小值，无极大值，故选项C正确，选项A，B错误，
又函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递减，故选项D错误．故选C．]
反思领悟由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由导函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
巩固迁移1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D[由题图可知，当x－2时，f′(x)0；
当－2x1时，f′(x)0；
当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0．
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．]
考点二求函数的极值或极值点
求函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．
[典例2](人教A版选择性必修第二册P91例5改编)设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，讨论f(x)的单调性并判断f(x)有无极值，若有极值，求出f(x)的极值．
[解]f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝(x＋2)(x＋a)ex，
当a＝2时，f′(x)≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，无极值；
当a≠2时，令f′(x)＝0，
解得x＝－2或x＝－a，
不妨令x1x2(x1是－2与－a中较小的一个，x2是较大的一个)，
列表如下：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
当－a－2，即a2时，取x1＝－2，x2＝－a，其单调区间如表所示，
极大值为f(－2)＝(4－a)e-2，极小值为f(－a)＝ae－a．
当－a－2，即a2时，取x1＝－a，x2＝－2，其单调区间如表所示，
极小值为f(－2)＝(4－a)e-2，极大值为f(－a)＝ae－a．
反思领悟一般地，当f′(x0)＝0时，若f′(x)在x＝x0两侧符号相反，则函数f(x)在x＝x0处存在极值；若f′