第5课时导数与函数的最值
[考试要求]1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用．
考点一求函数的最值
1．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[常用结论]
(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．
(2)若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．
不含参数的函数的最值
[典例1](经典题)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为()
A．－π2，π2
C．－π2，π2＋2 D
D[f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，令f′(x)＝0，解得x＝π2，x＝3π2或x＝－1(舍去)，所以在区间0，π2和3π2，2π上，f′(x)0，f(x)单调递增；在区间π2，3π
又f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋
f3π2＝－3π2+1＋1
所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－3π2，最大值为π2＋2，故选D
反思领悟本例求f(x)在闭区间[0，2π]上的最大值、最小值，要先求出在闭区间[0，2π]上的极值，再与端点处的函数值f(0)，f(2π)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
巩固迁移1(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．
1[函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞)．
①当x12时，f(x)＝2x－1－2lnx
所以f′(x)＝2－2x＝2
当12x1时，f′(x)0，当x1时，f′(x)0
所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；
②当0x≤12时，f(x)＝1－2x－2lnx在0
所以f(x)min＝f12＝－2ln12＝2ln2＝ln4lne＝
综上，f(x)min＝1．]
含参函数的最值
[典例2]已知函数f(x)＝x-ax－lnx(a∈
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在1e，e上的最大值g(
[解](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a-
若a≤0，则f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
若a0，则当xa时，f′(x)0；
当0xa时，f′(x)0，
所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
(2)f′(x)＝a-
当a≤1e时，f(x)在1
所以f(x)max＝f1e＝2－ae
当1eae时，f(x)在1
在[a，e]上单调递减，
所以f(x)max＝f(a)＝－lna；
当a≥e时，f(x)在1e
所以f(x)max＝f(e)＝－ae
综上，g(a)＝-
反思领悟本例函数f(x)中含有参数a，应从f′(x)＝0的根与区间1e，e端点的关系入手，确定参数的范围，对参数分类讨论，判断函数单调性，从而得到f(
巩固迁移2已知函数f(x)＝lnxx，设实数a0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a
[解]因为F(x)＝af(x)，
所以F′(x)＝a1-lnxx2(a
令F′(x)0，得0xe，
令F′(x)0，得xe，
所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以F(x)在[a，2a]上的最小值F(x)min＝min{F(a)，F(2a)}．
因为F(a)－F(2a)＝lna－12ln(2a
＝12lna
所以当0a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，
F(x)min＝F(a)＝lna．
当a2时，F(a)－F(2a)0，
F(x)min＝F(2a)＝12ln(2a)
综上所述，当0a≤2时，F(x)在[a，2a]上的最小值为lna；
当a2时，F(x)在[a，2a]上的最小值为12ln