第7课时利用导数解决函数的零点问题
[考试要求]函数的零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数、参数范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现．
考点一利用导数确定函数零点的个数
1．利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路
(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0；
(3)涉及两函数的交点，利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围．
2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤
第一步：利用导数证明该函数在该区间上的单调性；
第二步：证明端点的导数值异号．
[典例1]已知函数f(x)＝ax－lnx－2．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
[解](1)当a＝1时，f(x)＝x－lnx－2(x0)，f′(x)＝1－1x＝x-1x(x0)，令f′(x)0，则x1；令f′(x)0，则0x1，故函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间为(0
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝1－ln1－2＝－1，无极大值．
(2)令f(x)＝ax－lnx－2＝0，因为x0，所以a＝lnx
令g(x)＝lnx+2x，则g′(x)
令g′(x)0，则0x1e；令g′(x)0，则x1
故g(x)在0，1e上单调递增，在1e，+∞上单调递减，从而g(x)max＝g1e＝e，因此当ae时，直线y＝a与
当a＝e或a≤0时，直线y＝a与y＝g(x)的图象有1个交点；
当0ae时，直线y＝a与y＝g(x)的图象有2个交点．
综上，当ae时，函数f(x)没有零点；当a＝e或a≤0时，函数f(x)有1个零点；当0ae时，函数f(x)有2个零点．
反思领悟本例(2)问讨论f(x)的零点个数，实质是研究f(x)＝0的根的个数，方程ax－lnx－2＝0易分离参数为a＝lnx+2x，问题转化为研究y＝a与y＝lnx+2x的图象在定义域(0，＋∞)上交点个数问题，画出y＝
巩固迁移1(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R，讨论函数g(x)＝f′(x)－x
[解]由题意知g(x)＝f′(x)－x3＝1x-m
令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x0)
设φ(x)＝－13x3＋x(x0)
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当x∈(0，1)时，φ′(x)0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
∴x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23
结合y＝φ(x)的图象(如图)可知，
①当m23时，函数g(x)
②当m＝23时，函数g(x)
③当0m23时，函数g(x)
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m23时，函数g(x)
当m＝23或m≤0时，函数g(x)
当0m23时，函数g(x)
考点二根据函数零点情况求参数范围
已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法
(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．
[典例2]已知函数f(x)＝ex－kx－k有两个零点，求实数k的取值范围．
[解]法一(分类讨论法)：由f(x)＝ex－kx－k知，f′(x)＝ex－k．
当k≤0时，f′(x)0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)最多有一个零点．
当k0时，令f′(x)＝0，得x＝lnk，
当xlnk时，f′(x)0，f(x)在(－∞，lnk)上单调递减，
当xlnk时，f′(x)0，f(x)在(lnk，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(lnk)＝－klnk，
因为f(x)有两个零