导数及其应用
[典例](15分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
明条件，顺思路
规范答，抢得分
点关键，防陷阱
①由题意，求切线，故求导．(ex)′＝ex；x′＝1；c′＝0
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，
∴f′(x)＝ex－1，…………(1分)
①记清求导公式；
②“在某点”“过某点”求切线时的解法区别．
②已知切点(1，f(1))，还需求出切线斜率k＝f′(1)，得切线方程y－f(1)＝f′(1)(x－1)．
则f′(1)＝e－1，…………(2分)
f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，(3分)
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0．…(5分)
切线问题常用的三个关系：
①切点(x0，y0)在切线上；
②切点(x0，y0)在曲线上；
③k＝f′(x0)．
③由已知f(x)有极小值且极小值小于0，需研究函数的单调性得极值．
(2)易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a，………………(6分)
研究单调性，定义域优先原则．
④由f′(x)＝ex－a＝0是否有解进行讨论．
当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；……(7分)
当a0时，由f′(x)0，得xlna，
由f′(x)0，得xlna，
所以函数f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(lna)＝a－alna－a3．………(9分)
由题意知a－alna－a30(a0)等价于1－lna－a20(a0)，…(10分)
f′(x)的符号与a的取值有关．
当a≤0时，f′(x)恒正；
当a0时，f′(x)＝0有解．进行讨论得单调性、极值．
⑤由f(x)的极小值为f(lna)＝a－alna－a30(a0)为超越不等式(不易解)，故借助新函数单调性求解．
令g(a)＝1－lna－a2(a0)，
则g′(a)＝－1a－2a0，……(12分
所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减．……(13分)
超越不等式及超越方程，常构造函数结合单调性求解．
[思考：此时能否借助两函数图象求解？]
⑥g(a)在(0，＋∞)上单调递减，联想函数单调性定义的应用，即g(a)0＝g(x0)，观察验证知x0＝1时g(1)＝0．
又g(1)＝0，故当0a1时，g(a)0，
当a1时，g(a)0＝g(1)，
故实数a的取值范围为(1，＋∞)．
……………(15分)
g(x1)g(x2)且g(x)在(0，＋∞)上单调递减，则得x1x2．