三角函数与解三角形
[典例](13分)(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△ABC的周长．
明条件，顺思路
规范答，抢得分
点关键，防陷阱
①sinA＋3cosA＝2(asinθ＋bcosθ形式)联想辅助角公式asinθ＋bcosθ＝a2+b2sin(θ
[解](1)由sinA＋3cosA＝2，
得12sinA＋32cosA＝1，…………(1
所以sinA+π3＝1．…………
辅助角公式的本质是两角和差公式逆用．
[思考：此处能否结合平方关系求角A？]
②由sinA+π3＝1
角A范围是什么？
∵0Aπ，
∴π3A＋π3
∴A＋π3＝π
故A＝π6．……(6分
注意三角形内角的范围．
③由2bsinC＝csin2B，含有角C及2B，联想二倍角公式，倍角化单角：sin2B＝2sinBcosB．
(2)由2bsinC＝csin2B，
得2bsinC＝2csinBcosB，………(8分)
统一为单角．
④由2bsinC＝2csinBcosB，式子中含边与角，故边角互化：a＝2RsinA；b＝2RsinB；c＝2RsinC．(R为三角形外接圆半径)
由正弦定理得2sinBsinC
＝2sinCsinBcosB，
∵sinB·sinC≠0，
∴cosB＝22
∵0Bπ，
∴B＝π4．(10分
∵A＋B＋C＝π，
∴C＝7π12，……(11分
边化角．
[思考：此处能否角化边求解？]
三角形中隐含条件A＋B＋C＝π．
⑤由A，B的值，可得C．
由正弦定理asinA＝bsin
得b＝asinBsinA＝2sinπ4sin
⑥由A＝π6，C＝7π12，B＝π4，结合a＝2，由正弦定理可求b
c＝asinCsinA＝
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋32+6．…………(13
正弦定理解决的两类基本问题：
①两角及一边；
②两边及一边对角．