第4课时数列求和(一)
[考试要求]1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握分组求和、并项求和、倒序相加求和等几种常见的求和方法．
考点一分组求和
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝na1+
2．等比数列的前n项和公式：
Sn＝na
3．分组求和：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
[典例1](2025·安康模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知an≥1且2Sn＝an2＋
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)记bn＝2an，n为奇数，an，n为偶数，求数列{
[解](1)证明：由an≥1且2Sn＝an2＋
可得2a1＝2S1＝a12＋1，解得a1＝
当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝an2+n-a
即(an－1)2＝an
即an－an－1＝1或an＋an－1＝1(舍去)，
可得数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，即an＝n．
(2)由(1)知bn＝2
则数列{bn}的前2n项和T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(2＋8＋…＋22n-1)＋(2＋4＋…＋2n)＝21-4n1-4+12n(2＋2n)＝
反思领悟本例(2)中当n为奇数时，bn＝2n为等比数列，当n为偶数时，bn＝n为等差数列，可采用分组求和法求和．一般地，通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数或an＝bn±cn的数列，且
巩固迁移1已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
[解](1)由题意知4
解得a1=-2，d=3或
所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5．
(2)由(1)及题意知bn＝3n－5＋2n，
所以Sn＝n
＝3n2-7n2＋2
考点二并项求和
[典例2](2025·南京模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋λ(n∈N*，λ∈R)．
(1)求λ的值，并写出数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n．
[解](1)由Sn＝2n＋λ，
知当n＝1时，a1＝2＋λ．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n-1－λ＝2n-1．
因为数列{an}为等比数列，
所以a1＝2＋λ适合an＝2n-1，
所以λ＝－1，an＝2n-1．
(2)由an＝2n-1，
则bn＝(－1)nlog2a2n＋1＝(－1)n2n，
所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－4n＋2＋4n)＝2n．
反思领悟一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
巩固迁移2(2025·银川模拟)数列{an}的通项公式an＝nsinnπ3，其前n项和为Sn，则S2025＝________
202532[函数y＝sinπ3x
又a6m＋1＋a6m＋2＋a6m＋3＋a6m＋4＋a6m＋5＋a6m＋6＝－33，m∈N，2025＝337×6＋3，
所以S2025＝－33×337＋2023sin2023π3＋2024·sin2024π3＋2025sin2025π3＝
考点三倒序相加求和
[典例3]设函数f(x)＝1＋ln1-xx，设a1＝1，an＝f1n＋f2n＋f3n＋…＋fn-1n(n∈
(1)计算f(x)＋f(1－x)的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解](1)f(x)＋f(1－x)＝1＋ln1-xx＋1＋lnx1-
(2)由题知，当n≥2时，
an＝f1n＋f2n＋f3n＋…＋
又an＝fn-1n＋fn-2n＋…
2an＝f1n+fn-1n+f2
所以an＝n－1，
又a1＝1不符合an＝n－1，
所以an＝1
反思领悟如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么可用倒序相加法求这个数列的前n项和．
巩固迁移3若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f1n＋…＋fn-1n＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}
an＝2(n＋1)[由f(x)＋f(1－x)＝4，
可得f(0)＋f(1)＝4，…，f1n＋fn-1n＝4，所以2an＝[f(0)＋f(1)]＋f1n+fn-1n＋…＋[f(1)＋f(0)]＝4(n＋1)
1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，则其前20项和为(
A．379＋1220 B．399
C．419＋1220 D．439