圆锥曲线中的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率及其取值范围是近几年高考的热点，这类问题所涉及的知识点较多，综合性强，解法灵活，内涵丰富，具有极好的素养评价功能．
题型一圆锥曲线离心率
[典例1](1)(2024·达州期末)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得|F1P|＝6cm，|F1Q|＝2cm，其中F1为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的离心率为()
A．12 B．
C．104 D
(2)(2024·苏州三模)在平面直角坐标系Oxy中，过点P(－3，0)的直线l与双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线相交于A，B两点，若线段AB的中点是M(1
A．3 B．3
C．102 D
(3)(2025·佛山市顺德区模拟)已知椭圆C：y2a2+x2b2＝1(ab0)的上、下焦点分别为F2，F1，点P在椭圆上且位于第三象限，满足∠PF1F2＝120°，∠PF1F2的角平分线与PF2相交于点Q，若PQ＝
A．35 B
C．19-25
(1)C(2)D(3)C[(1)根据椭圆的对称性可知|PF1|＋|QF1|＝2a，
所以2a＝8，得a＝4，又QF1⊥PF1，所以PF12+QF12
即62＋22＝4c2，解得c＝10，故椭圆的离心率为e＝ca＝104．故选
(2)由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝k(x＋3)，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，联立y=kx+3，y=bax
联立y=kx+3，y=-bax，
因为AB的中点为M(1，3)，所以3kba-k+3k-ba-k＝2，3kbb-
(3)因为PQ＝25PF2，则PQ
由角平分线的性质可得PF1F1
因为|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＝43c
由椭圆的定义可知|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－43c
在△PF1F2中，∠PF1F2＝120°，
由余弦定理可得|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2，
即2a-43c2＝(2c)2＋43c2－2
整理可得5e2＋4e－3＝0，解得e＝-2±19
因为e∈(0，1)，所以e＝19-25．故选C
反思领悟本例(1)直接求出a，c，利用公式e＝ca求解；本例(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝1+b2a2注意椭圆的离心率e=1-b
巩固迁移1(1)设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2
A．43 B．
C．94 D．
(2)(2024·南京市江宁区二模)设F1，F2分别为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，直线F1P与以F2为圆心、OF2为半径的圆切于点Q(O为坐标原点)，且F1Q
A．32 B．
C．12 D
(1)B(2)B[(1)因为P是双曲线x2a2-y2b2＝1(a0，b0)上一点，所以||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以PF1+PF22-PF1-PF22＝9b2－4a2，所以4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又因为|PF1|·|PF2|＝94ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9ba2－9ba－4＝0，解得ba＝－13(舍去)或ba
(2)由题意，|F2Q|＝c，|F1F2|＝2c，
因为直线F1P与以F2为圆心、OF2为半径的圆相切，所以∠F2QF1＝90°，
因此由勾股定理可知|F1Q|＝4c2-c
又F1Q＝3QP，所以|QP|＝33c，因此|F1P|＝3c＋33c
由勾股定理可得|PF2|＝3c29+
根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a?433c＋233c＝2a?e＝
故选B．]
题型二圆锥曲线离心率的取值范围
[典例2](1)(2024·武汉市江汉区月考)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF
A．62，+∞
C．1，62
(2)设F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若在直线x＝a2c上存在点P
A．0，22
C．22，1
(3)设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e
(1)D(2)