第5课时幂函数与二次函数
[考试要求]1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a0)
y＝ax2＋bx＋c
(a0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
4ac?
?∞
对称轴方程
x＝－b
顶点坐标
?
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在?∞，?b
在?b2a
在?∞，?b
在?b2a
[常用结论]
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]．
(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(
(2)当m＜－b2a≤m+n2时，最小值为f?b
(3)当m+n2＜－b2a＜n时，最小值为f?b2a，最大值为
(4)当－b2a≥n时，最小值为f(n)，最大值为f(
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x13是幂函数．
(2)当n0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增． ()
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ()
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是4ac?b24a
[答案](1)×(2)√(3)√(4)×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P86习题3.2T7改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为()
A．[－6，2] B．[－6，1]
C．[0，2] D．[0，1]
A[函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，
即f(x)的值域为[－6，2]．]
2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________．
(－∞，30]∪[120，＋∞)[依题意知，k6≥20或k6≤5，解得k≥
3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点4，
y＝x?12(0，＋∞)[设y＝f(x)＝xα，因为其图象过点4，12，代入解析式得α＝－12，则y＝x
4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“”连接)
cba[由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.40.30.3，0.40.30.30.3，即cba．]
考点一幂函数的图象及性质
[典例1](1)如图，函数y＝1x，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧，则f(x
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝1
C．f(x)＝x12 D．f(x)＝
(2)有四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是()
A．f(x)＝x-2 B．f(x)＝x-1
C．f(x)＝x13 D．f(x)＝x
(3)若(a＋1)12
(1)B(2)A(3)?1，23[(1)因为函数f(x)＝xα的图象过④⑧部分，所以函数f(x)＝xα在第一象限内单调递减，所以α0．又易知当x＝2时，12
(2)对于A，f(x)＝x-2是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在(